Dadas as funções f x = x 2 + 3       s e   x ≤ 1 x + 1       s e   x > 1 e g x = x 2       s e   x ≤ 1 2       s e   x > 1 ,

i i i Dê a expressão da função F x = f x . g x e verifique se existe lim x → 1 ⁡ F x

Passo 1

Como as expressões têm o mesmo intervalo, basta multiplicarmos cada expressão:

F x = f x ⋅ g x = x 2 + 3 ⋅ x 2       s e   x ≤ 1 x + 1 ⋅ 2       s e   x > 1

Passo 2

Agora vamos analisar o limite:

lim x → 1 ⁡ F x

Como a expressão muda à esquerda e à direita do limite, vamos usar os limites laterais. Se os limites laterais existirem e forem iguais, então o limite existe e é igual ao valor encontrado para os laterais. Como a expressão para valores à esquerda de x = 1 é x 2 + 3 ⋅ x 2 :

lim x → 1 - ⁡ F x = l i m x → 1 -   x 2 + 3 ⋅ x 2

Como não há indeterminação, podemos substituir direito: l i m x → 1 -   x 2 + 3 ⋅ x 2 = 1 - 2 + 3 1 - 2 = 4

De maneira análoga:

lim x → 1 + ⁡ F x = l i m x → 1 +   x + 1 ⋅ 2 = 1 - + 1 ⋅ 2 = 4

Como os limites laterais são iguais e iguais a 4 :

lim x → 1 ⁡ F x = 4 Chegamos a uma conclusão muito importante aqui. Veja que:

lim x → 1 ⁡ f x lim x → 1 ⁡ g x

Não existem, mas:

lim x → 1 ⁡ f x ⋅ g x

Existe. Isso significa que se dois limites não existem, é possível que o limite do produto dos dois exista. Lembre-se disso!

Resposta

F x = x 2 + 3 x 2 , x ≤ 1 2 x + 1 , x > 1

lim x → 1 ⁡ F x = 4

Exercícios de Livros Relacionados

Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.