Dadas as funções f x = x 2 + 3       s e   x ≤ 1 x + 1       s e   x > 1 e g x = x 2       s e   x ≤ 1 2       s e   x > 1 ,

i i Calcule lim x → 1 ⁡ f x e lim x → 1 ⁡ g x

Passo 1

Como as expressões são diferentes à esquerda e à direita dos limites, vamos usar os limites laterais. Se os limites laterais existirem e forem iguais, então o limite vai existir.

É importante você notar aqui que para o limite existir, basta que os limites laterais existam e sejam iguais, mas não é necessário que os limites sejam iguais ao valor da função no ponto. Esse é um requisito para continuidade e não para existência do limite.

Para f , como a expressão à esquerda de x = 1 é x 2 + 3 :

lim x → 1 - ⁡ f x = l i m x → 1 - x 2 + 3

Como não indeterminação, podemos substituir direito: l i m x → 1 - x 2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 4

Como a expressão à direita de x = 1 é x + 1 : lim x → 1 + ⁡ f x = l i m x → 1 - x + 1

Como não indeterminação, podemos substituir direito:

l i m x → 1 - x + 1 = 1 - + 1 = 2

Como:

lim x → 1 - ⁡ f x ≠ l i m x → 1 - x + 1

Concluímos que:

lim x → 1 ⁡ f x não existe!

Passo 2

De maneira análoga, para g :

lim x → 1 - ⁡ g x = l i m x → 1 - x 2 = 1 - 2 = 1

lim x → 1 + ⁡ g x = l i m x → 1 + 2

O limite de uma constante é ela mesma, logo: l i m x → 1 + 2 = 2

Como: lim x → 1 - ⁡ g x ≠ lim x → 1 + ⁡ g x

Concluímos que:

lim x → 1 ⁡ g x não existe!

Resposta

Não existe nenhum desses limites

lim x → 1 - ⁡ f x = 4

lim x → 1 + ⁡ f x = 2

lim x → 1 - ⁡ g x = 1

lim x → 1 + ⁡ g x = 2

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Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.