Determine:

a )   lim x → 2 ⁡ | x - 2 | 4 - 2 x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Temos um limite para resolver

lim x → 2 ⁡ | x - 2 | 4 - 2 x

Nosso instinto é substituir x por 2 , não é mesmo? Mas ao fazermos isso, obtemos um 0 / 0 , que significa que temos uma indeterminação: precisamos manipular a função para sair dessa!

Mas notem que a função tem módulo no numerador! Então ela precisa ser avaliada pelas duas “caras” que ela vai ter!

Isso mesmo! A função modular ganha duas caras:

x = + x ,   s e   x > 0 - x ,   s e   x < 0

Então a mesma coisa vai acontecer com a nossa função! Vamos separar em duas partes e calcular os limites laterais! Se os valores forem os mesmos, então o limite existe e é o valor encontrado!

E se não? Caso contrário dizemos que o limite não existe

Relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nosso limite é

lim x → 2 ⁡ | x - 2 | 4 - 2 x

Precisamos calcular os limites laterais! Começando pelo limite superior

lim x → 2 + ⁡ + x - 2 4 - 2 x = lim x → 2 + ⁡ + x - 2 - 2 x - 2

Podemos simplificar ( x - 2 ) e avaliar novamente o limite

lim x → 2 + ⁡ + 1 - 2 = - 1 2

Beleza?

Passo 3

Agora vamos calcular o limite inferior! Agora o módulo nos dá a parte negativa do numerador

lim x → 2 - ⁡ - x - 2 4 - 2 x

Podemos fazer a mesma simplificação

lim x → 2 - ⁡ - x - 2 4 - 2 x = lim x → 2 - ⁡ - x - 2 - 2 ( x - 2 ) = + 1 2

Ora ora ora, o que temos aqui! Os limites laterais são diferentes, saca só

lim x → 2 - ⁡ - x - 2 4 - 2 x = + 1 2

Enquanto

lim x → 2 + ⁡ + x - 2 - 2 x - 2 = - 1 2

Então dizemos que o limite quando x → 2 não existe!

Tranquilo?

Vamos treinar mais?

Resposta

n ã o   e x i s t e

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5