C4. Determine a e b para que lim x → - 1 ⁡ f ( x ) e lim x → 1 ⁡ f ( x ) existam, em que f é a função dada por

f x = x - 2 2 - b ,     s e   x < - 1 x 3 - a x + 7 ,     s e - 1 ≤ x ≤ 1 x 2 - b + 1 x + b x - 1 ,     s e   x > 1 .

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certo com vocês? Bora lá resolver mais uma questãozinha então!

Antes de qualquer coisa, vamos entender melhor o que está acontecendo nesse exercício aqui!

O enunciado nos dá então dois limites, e nos pede para determinar a e b a partir deles.

Tá, mas como vamos fazer isso?? Por onde vamos começar?

Se você continuar lendo o enunciado, vai ver que ele nos deu uma informação muito importante: valores para f ( x ) para quando x estiver dentro de algum valor ou alguma condição! Isso vai fazer com que a gente consiga resolver o nosso enunciado!

Mas como vamos usar isso ao nosso favor?

Como a gente já disse, o enunciado deu dois limites. E ele pede os valores de a e b que estão em f ( x ) para que esses dois limites existam. Então, antes de tudo vamos determinar para quais valores de x os limites existem, e a partir disso ver qual será a nossa função, e calcular então a e b !

Bora lá então!

Passo 2

Avaliando então o nosso primeiro limite, lim x → - 1 ⁡ f ( x ) , vemos que x tende a   - 1 . Portando, f ( x ) pode adotar dois valores que se enquadram nessa condição: x - 2 2 - b e x 3 - a x + 7 .

Então, para que esse limite exista, os limites dessas duas funções deve ser o mesmo:

lim x → - 1 ⁡ x - 2 2 - b = lim x → - 1 ⁡ x 3 - a x + 7           ( I )

lim x → - 1 ⁡ x 2 - 4 x + 4 - b = lim x → - 1 ⁡ x 3 - a x + 7

Como x - = - 1 não é contínuo em lim x → - 1 ⁡ x 2 - 4 x + 4 - b precisamos calcular o limite lateral pela esquerda.

Mas como fazemos isso??

Vamos lá que eu te ensino!

Como é aproximação pela esquerda, vamos pegar valores que tendem a -1 pela esquerda, ou seja, valores menores que 1.

Então, assumindo x → - 1,5 :

2,25 - 4 - 1,5 + 4 - b = 12,25 - b

Assumindo x → - 1,1 :

1,21 - 4 - 1,1 + 4 - b = 9,61 - b

Assumindo x → - 1,01 :

1,0201 - 4 - 1,01 + 4 - b = 9,061 - b

Assumindo x → - 1,001 :

1,002001 + 4,004 + 4 - b = 9,006001 - b

Ou seja, a partir disso podemos ver que quanto mais o limite tende a - 1 , mais o resultado tende a 9 - b , então o limite é 9 - b !

Avaliando o outro lado da equação ( I ) , vemos que o limite é contínuo no ponto x = - 1 , então, vamos ter que:

lim x → - 1 ⁡ x 3 - a x + 7 = - 1 3 - a - 1 + 7 = a + 6

Olha só que legal! Achamos os dois lados da equação ( I ) em função de a e b . Agora podemos estabelecer uma relação entre eles:

9 - b = a + 6       →       a = - b + 3

Passo 3

Avaliando agora o nosso segundo limite, vamos seguir a mesma linha de raciocínio do passo 2.

Então, para que lim x → 1 ⁡ f ( x ) exista, precisamos que:

lim x → 1 ⁡ x 3 - a x + 7 = lim x → 1 ⁡ x 2 - b x - x + b x - 1

Como x 3 - a x + 7   é contínuo em x = 1 , então:

lim x → 1 ⁡ x 3 - a x + 7 = 1 3 - a 1 + 7 = a - 8

Mas, como x = 1 não é contínuo em x 2 - b x - x + b x - 1 , precisamos calcular o limite lateral pela direita:

Assumindo x = 1,5 :

2,25 - 1,5 b - 1,5 + b 0,5 = 1,5 - b

Assumindo x = 1,1 :

1,21 - 1,1 b - 1,1 + b 0,1 = 1,1 - b

Assumindo x = 1,01 :

1,0201 - 1,01 b - 1,01 + b 0,01 = 1,01 - b

Ou seja, podemos assumir que o limite é 1 - b !

Portanto:

- a + 8 = 1 - b       →         a = b + 7           ( I I )

Passo 4

Agora que já temos uma relação com a e b para cada um dos limites dados no enunciado, vamos juntar os resultados obtidos para a encontrados no passo 2 e 3 respectivamente, e a partir disso encontraremos b . Em seguida, podemos usar o valor encontrado para encontrar a !

Então:

- b + 3 = b + 7

2 b = - 4

b = - 2

Substituindo esse valor em ( I I ) :

a = - 2 + 7

a = 5

Prontinho!! Encontramos o que o enunciado nos pediu!

Até que foi tranquilo de resolver, fala aí!

Bora lá resolver mais uma então?

Resposta

a = 5

b = - 2

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