2.1) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe exibindo caminhos que levam a limites diferentes ou para os quais o limite não existe

a) lim x , y → 5 , - 2 ⁡ x 4 + 4 x 3 y - 5 x y 2

b) lim x , y → 6,3 ⁡ x y cos ⁡ x - 2 y

c) lim x , y → 1,0 ⁡ ln ⁡ 1 + y 2 x 2 + x y

d) lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + sen 2 ⁡ y 2 x 2 + y 2

e) Dica: considere os caminhos C 1 : x , 0 ,   C 2 : 0 , x ,   C 3 : x , ± x 2

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y e y x 2 + 4 y 2

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos calcular o limite, se ele existe, ou mostrar que o limite não existe exibindo caminhos que levam a limites diferentes.

A primeira coisa que vamos fazer é substituir os valores para onde x e y estão tendendo na função. Se der bonitinho, o limite já está calculado.

Maaas se der alguma indeterminação, vamos verificar se o limite existe mesmo com caminhos diferentes.

Passo 2

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y e y x 2 + 4 y 2

Substituindo os valores:

= 0 2 0 e 0 0 2 + 4 0 2

= 0 0

Putz... deu indeterminação 0/0.

Passo 3

Vamos verificar se o limite realmente existe.

Vamos começar usando o caminho genérico x = m y :

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y e y x 2 + 4 y 2 = lim y → 0 ⁡ m y 2 y e y m y 2 + 4 y 2

Como o valor do limite depende de m, então depende do caminho. Logo o limite não existe.

Resposta

Não existe

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5