4. Determine os seguintes limites

(c) lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x ;

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, nosso objetivo é obter os limites laterais da função ln ⁡ x x para x tendendo a 0 pela direita.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

O limite de uma função é um conceito fundamental da matemática que descreve o comportamento da função à medida que a variável independente se aproxima de um determinado valor.

O limite lateral de uma função é um conceito que descreve o comportamento da função à medida que a variável independente se aproxima de um determinado valor a por um dos lados (esquerdo ou direito). Formalmente, o limite lateral à esquerda da função f x quando x se aproxima de a é denotado por:

lim x → a - ⁡ f x = L

Isso significa que, à medida que x se aproxima de a pela esquerda (ou seja, valores menores que a), a função f x se aproxima de um valor L . O limite lateral à direita da função f x quando x se aproxima de a é denotado por:

lim x → a + ⁡ f x = L

Isso significa que, à medida que x se aproxima de a pela direita (ou seja, valores maiores que a), a função f x se aproxima de um valor L .

Se ambos os limites laterais existirem e forem iguais, o limite geral da função em a existe. Se os limites laterais existirem, mas não forem iguais, o limite geral da função em a não existe.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando o limite quando x tende a 0 pela direita, temos

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x

Nesse caso, podemos fazer o produto de dois limites

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x · 1 x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x · lim x → 0 + ⁡ 1 x

Portanto, o limite de ln ⁡ x para x tendendo a 0 pela direita é igual a - ∞ pois sabemos que o gráfico de ln ⁡ x é aproximadamente igual a

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x = - ∞

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Agora vamos calcular o limite de 1 x

lim x → 0 + ⁡ 1 x

Quando x tende a 0 pela direita, estamos dividindo um número relativamente alto por um número muito menor que 0 . Ou seja quanto mais próximo de 0 maior é o resultado dessa divisão até que cheguemos em um valor muito alto, próximo de

lim x → 0 + ⁡ 1 x = ∞

Juntando os dois resultados, temos

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x · lim x → 0 + ⁡ 1 x

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x = - ∞ · ∞

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x = - ∞

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x = - ∞

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
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Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5