Encontre a e b que torne a função f ( x ) contínua:

f x =   s e n x x ,     s e   x < 0 b ,                                     s e   x = 0 x 3 - a ,     s e   x > 0

Passo 1

Fala aí galerinhaaaaa, como vocês tão???

Nessa questão temos uma função f definida por partes, que está escrita com duas constantes: a e b . Queremos determinar a e b de modo que f seja contínua 😊

Pessoal, uma função contínua é quando estamos desenhando uma função no papel e nenhum momento o lápis para de ter contato com o papel, ou seja, o gráfico não tem interrupções.

Sendo assim, se uma função é contínua significa que o valor da função em um determinado ponto tem que ser igual aos limites laterais daquele mesmo ponto. Tendo isso em vista, podemos afirmar que

l i m x → 0 - s e n x x     =   f ( 0 )   =   l i m x → 0 +   x 3 - a

Resolvendo o primeiro limite, temos:

l i m x → 0 - s e n x x    

Como esse limite é do tipo 0 / 0 podemos aplicar L’Hopital:

=   l i m x → 0 - ( s e n x ) ' ( x ) '

=   l i m x → 0 - c o s   x 1 ⁡

=   l i m x → 0 -   c o s ⁡ x

=   l i m x → 0 -   c o s ⁡ 0

=   l i m x → 0 -   1

=   1

Massa! Bora pro próximo!

Passo 2

Agora para f ( 0 ) basta analisarmos nossa função por partes, quando x = 0 temos:

f 0 = b

E por fim temos   l i m x → 0 +   x 3 - a , substituindo x = 0 , encontramos:

l i m x → 0 +   x 3 - a

=   l i m x → 0 +   0 3 - a

=   l i m x → 0 +   - a

Como a também é uma constante podemos afirmar que

l i m x → 0 +   - a

=   - a

Passo 3

Portanto,

l i m x → 0 - s e n x x     =   f ( 0 )   =   l i m x → 0 +   x 3 - a

1   =   b   =   -   a

b = 1   e   a =   - 1

Bons Estudos xuxus! Tchau 😊

Resposta

b = 1   e   a =   - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5