Estude, por ε e δ , o limite de f ( x ) = 3 x + 2 no ponto x = 1 .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado pede para estudarmos, usando ε e δ , o limite da função

f ( x ) = 3 x + 2

no ponto x = 1 . Mas, o que quer dizer isso? Note que não devemos simplesmente resolver o limite como fazemos usualmente! Aqui, vamos usar a chamada definição precisa de limite, que diz

∀   ε > 0   ∃   δ   >   0 tal que se 0 < | x - a | < δ então | f ( x ) - L | < ε

que é uma definição que avalia relações entre a função e seu limite L em termos dos infinitesimais ε e δ . Vamos ver o que podemos analisar usando essa definição! Saca só!

Passo 2

Em nosso caso temos que a = 1 e que f ( x ) = 3 x + 2 , portanto, podemos escrever que

∀   ε > 0   ∃   δ   >   0 tal que se 0 < | x - 1 | < δ então | 3 x + 2 - L | < ε

como temos uma função modular em nossas desigualdades, podemos escrever que

- δ < x - 1 < δ

ou resumindo, temos o intervalo

1 - δ < x < δ + 1

Vamos tentar relacionar este intervalo com o valor de ε . Saca só!

Passo 3

A desigualdade relacionada para ε nos leva ao intervalo

- ε < 3 x + 2 - L < ε

Interessante, temos agora uma limitação para o valor de nossa função, de forma que se escolhermos por exemplo ε = 0,5 e δ = 0,3 , podemos escrever

0,7 < x < 1,3

ou seja, poderíamos, por exemplo, escolher x = 1 , e obter que

- 0,5 < 5 - L < 0,5

De forma que L = 5 obedece a desigualdade acima! Mas note que eu forcei um pouco a barra escolhendo os valores x = 1 e L = 5 , poderia ter escolhido outros valores possíveis dentro dos intervalos. Mas, se diminuirmos arbitrariamente os valores de ε e δ , iremos obter que x é realmente muito próximo de 1 e L é muito próximo de 5 . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5