Uma função f : D → R com domínio D = R - { 1 } = { x ∈ R ∣ x ≠ 1 } tem como gráfico a figura abaixo.

A g o r a   c o n s i d e r e   a   c o m p o s t a   g ( x ) = ( f ∘ f ) ( x ) = f ( f ( x ) ) .   D e t e r m i n e :

e )   l i m x → + ∞   g ( x ) ;

Passo 1

Para determinar o limite l i m x → + ∞   g ( x ) , onde g ( x ) = ( f ∘ f ) ( x ) = f ( f ( x ) ) , vamos considerar como x se aproxima do infinito positivo.

A função f(x) tende a 1 quando x tende ao infinito. Isso significa que l i m x → + ∞ f ( x ) =1. No entanto, quando você compõe uma função consigo mesma, como g ( x ) = ( f ∘ f ) ( x ) = f ( f ( x ) ) , você está basicamente aplicando f(x) duas vezes.

Passo 2

Vamos analisar o limite de g(x) quando x tende ao infinito:

l i m x → + ∞   g ( x ) = l i m x → + ∞ f   ( f ( x ) )

Agora, como l i m x → + ∞ f ( x ) =1 podemos substituir f(x) por 1:

l i m x → + ∞   g ( x ) = l i m x → + ∞ f   ( 1 )

Nesse ponto, você está aplicando f(x) a um valor constante (1) à medida que x tende ao infinito. Isso é equivalente a encontrar o limite de uma constante, e o limite de uma constante é simplesmente a própria constante. Portanto:

l i m x → + ∞   g ( x ) = f   ( 1 ) = 1

Passo 3

Então galera, o limite de g(x) quando x tende ao infinito é igual a 1. Não é verdade que o limite não existe. O limite de g(x) quando x tende ao infinito é bem definido e igual a 1, porque: ⁡

l i m x → + ∞ f ( x ) =1

Resposta

limx→+∞f(x)=1

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
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Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
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