Uma função f : D → R com domínio D = R - { 1 } = { x ∈ R ∣ x ≠ 1 } tem como gráfico a figura abaixo.

A g o r a   c o n s i d e r e   a   c o m p o s t a   g ( x ) = ( f ∘ f ) ( x ) = f ( f ( x ) ) .   D e t e r m i n e :

h )   l i m x → 0 +   g ( x ) ;

Passo 1

Para determinar o limite l i m x → 0 +   g ( x ) , onde g ( x ) = ( f ∘ f ) ( x ) = f ( f ( x ) ) , vamos analisar o comportamento de g ( x ) quando x se aproxima de 0 pelo lado direito.

Primeiro, vamos lembrar que o domínio de f ( x ) é D = R - { 1 } , o que significa que f ( x ) está definida para todos os valores reais x exceto x = 1 .

Passo 2

Agora, vamos considerar g ( x ) = f ( f ( x ) ) . Quando x se aproxima de 0 pelo lado direito ( x → 0 + ) , precisamos considerar como f ( x ) se comporta.

Como f ( x ) está definida para todos os valores reais x exceto x = 1 , podemos considerar o limite l i m x → 0 +   f ( x ) . Se o limite existe e é um valor L , então quando x se aproxima de 0 pelo lado direito, f ( x ) se aproxima de L . Além disso, como f ( x ) é definida em um intervalo em torno de L , podemos considerar o limite l i m x → L   f ( x ) , que nos dará o comportamento de f ( x ) em torno de L .

Em resumo, se l i m x → 0 +   f ( x ) = L , então l i m x → 0 +   g ( x ) = l i m x → L   f ( x ) , desde que f ( x ) esteja definida em um intervalo em torno de L .

Passo 3

quando x se aproxima de zero pelo lado direito, f(x) se aproxima de 1. Portanto:

l i m x → 0 +   g ( x ) = l i m x → 0 +   f ( 1 ) = 1

Isso significa que o limite de g(x) quando x tende a zero pelo lado direito é igual a 1. Não há necessidade de distinguir entre 0 e 0+ neste caso específico, pois o limite é igual em ambos os casos, uma vez que f(x) se comporta da mesma forma ao se aproximar de 1 a partir da esquerda ou da direita.

Resposta

l i m x → 0 +   g ( x ) = l i m x → 0 +   f ( 1 ) = 1

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