Uma função f : D → R com domínio D = R - { 1 } = { x ∈ R ∣ x ≠ 1 } tem como gráfico a figura abaixo.

Agora considere a composta  g ( x ) = ( f ∘ f ) ( x ) = f ( f ( x ) ) . Determine:

g)  l i m x → 0 -   g ( x ) ;

Passo 1

Para determinar o limite l i m x → 0 -   g ( x ) , onde g ( x ) = ( f ∘ f ) ( x ) = f ( f ( x ) ) , precisamos considerar o comportamento de g ( x ) quando x se aproxima de 0 pelo lado esquerdo.

Primeiro, vamos lembrar que o domínio de f ( x ) é D = R - { 1 } , o que significa que f ( x ) está definida para todos os valores reais x exceto x = 1 .

Passo 2

Agora, vamos analisar g ( x ) = f ( f ( x ) ) . Quando x se aproxima de 0 pelo lado esquerdo ( x → 0 - ), precisamos considerar como f ( x ) se comporta. No entanto, não sabemos como f ( x ) se comporta perto de x = 0 porque o domínio de f ( x ) exclui o valor x = 1 , e não temos informações específicas sobre o comportamento de f ( x ) nesse ponto.

Portanto, não podemos determinar o limite l i m x → 0   - g ( x ) sem informações adicionais sobre como a função f ( x ) se comporta perto de x = 0 . O comportamento da função f ( x ) em relação a x = 0 afetará o comportamento da função composta g ( x ) = f ( f ( x ) ) e, consequentemente, o limite quando x → 0 - .

Resposta

Portanto, não podemos determinar o limite l i m x → 0   - g ( x ) sem informações adicionais sobre como a função f ( x ) se comporta perto de x = 0 . O comportamento da função f ( x ) em relação a x = 0 afetará o comportamento da função composta g ( x ) = f ( f ( x ) ) e, consequentemente, o limite quando x → 0 - .

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
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Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5