Uma função f : D → R com domínio D = R - { 1 } = { x ∈ R ∣ x ≠ 1 } tem como gráfico a figura abaixo.

Agora considere a composta  g ( x ) = ( f ∘ f ) ( x ) = f ( f ( x ) ) . Determine:

f)  l i m x → - 1   g ( x ) ;

Passo 1

Vamos determinar o limite l i m x → - 1   g ( x ) , onde g ( x ) = ( f ∘ f ) ( x ) = f ( f ( x ) ) , e f ( x ) é definida em D = R - { 1 } . O valor de x está se aproximando de -1 .

Primeiro, vamos analisar o comportamento de f ( x ) quando x se aproxima de -1:

Dado que f ( x ) está definida para todos os valores reais x exceto x = 1 , podemos considerar que f ( - 1 ) está definido. Portanto, f ( x ) está definida quando x se aproxima de -1 , e f ( - 1 ) é um valor real.

Passo 2

Agora, vamos considerar g ( x ) = f ( f ( x ) ) . Como vimos, f ( x ) está definida quando x se aproxima de -1, e portanto f ( f ( x ) ) também está definida.Em outras palavras, g ( x ) está definida quando x se aproxima de -1.Portanto, o limite l i m x → - 1   g ( x ) é simplesmente o valor da função g ( x ) em x = - 1 :

l i m x → - 1   g ( x ) = g ( - 1 ) = f ( f ( - 1 ) )

Uma vez que f ( - 1 ) é um valor real (já que f ( x ) está definida para x = - 1 ), podemos calcular f ( f ( - 1 ) ) , que é a composição de f aplicada a f ( - 1 ) .

Resumindo, o limite l i m x → - 1   g ( x ) é igual a f ( f ( - 1 ) ) , desde que f ( - 1 ) seja um valor que não seja excluído do domínio de f .

Resposta

Resumindo, o limite l i m x → - 1   g ( x ) é igual a f ( f ( - 1 ) ) , desde que f ( - 1 ) seja um valor que não seja excluído do domínio de f .

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Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
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