Os gráficos de g e h são dados. Ache os limites laterais de f no ponto indicado

f x = g x ∙ h ( x )

e

f x = ( h   o   g ) ( x )

Ambas no ponto x = 1

Passo 1

Fala aí!! Belezinha? Seguinte, vamos devagarinho aqui para a gente poder entender pouco a pouco.

Então, nós queremos os limites laterais quando x = 1 para duas funções!

Mas o que são esses limites laterais?? É quando a função tende a um valor quando aproximamos o x pela esquerda e outro valor quando aproximamos x pela direita.

Vou te dar um exemplo mais simples que os casos dessa questão! Olha só pra essa função descontínua:

Note que quando aproximamos os valores da esquerda para direita para x = 2 , ou seja, quando x → 2 + , então f x = 5 .

E, quando aproximamos os valores da direita para esquerda para x = 2 , ou seja, quando x → 2 - , então f x = - 5 .

Ou seja, o limite pela esquerda pode ser diferente do limite pela direita. E a gente tem que calcular ambos pras duas funções que o enunciado dá.

Mas cuidado, não são as funções que ele dá o gráfico. As nossas funções de interesse são definidas pelas duas dos gráficos

f x = g x ∙ h ( x )

e

f x = ( h   o   g ) ( x )

Mas vamos com calma, olhar uma de cada vez!

Passo 2

Na primeira parte da questão, a função que queremos é um produto de duas funções:

f x = g x ∙ h ( x )

Então, primeiramente, vamos lembrar da propriedade da multiplicação dos limites:

lim x → a ⁡ [ f x ∙ g ( x ) ] = lim x → a ⁡ [ f x ] ∙ lim x → a ⁡ [ g ( x ) ]

E vamos ter que calcular isso tanto pela direita quanto pela esquerda.

Então, da propriedade, temos os seguintes limites laterais da esquerda para a direita, quando x → 1 - :

lim x → 1 - ⁡ [ g x ∙ h ( x ) ] = lim x → 1 - ⁡ [ g x ] ∙ lim x → 1 - ⁡ [ h ( x ) ]

Pelo gráfico de g ( x ) percebemos que:

lim x → 1 - ⁡ [ g x ] = 1

E pelo gráfico de h ( x ) percebemos que:

lim x → 1 - ⁡ [ h x ] = 4

Logo, temos que:

lim x → 1 - ⁡ [ g x ∙ h ( x ) ] = 1 ∙ 4 = 4

Passo 3

Por outro lado, temos os seguintes limites laterais da direita para a esquerda, quando x → 1 + :

lim x → 1 + ⁡ [ g x ∙ h ( x ) ] = lim x → 1 + ⁡ [ g x ] ∙ lim x → 1 + ⁡ [ h ( x ) ]

Pelo gráfico de g ( x ) percebemos que:

lim x → 1 + ⁡ [ g x ] = 3

E pelo gráfico de h ( x ) percebemos que:

lim x → 1 + ⁡ [ h x ] = - 2

Logo, temos que:

lim x → 1 + ⁡ [ g x ∙ h ( x ) ] = 3 ∙ - 2 = - 6

Passo 4

Beleza! Fizemos a primeira parte... Na segunda parte temos a função composta:

f x = ( h   o   g ) ( x )

Mas o que é essa tal de função composta???

Basicamente, ela é dada da seguinte forma:

lim x → a ⁡ [ g x   o   h ( x ) ] = lim x → a g ⁡ [ h x ] = g lim x → a ⁡ h x

Agora, vamos encontrar os limites laterais!!

Passo 5

Assim, temos os seguintes limites laterais da esquerda para a direita, quando x → 1 - :

lim x → 1 - h ⁡ [ g x ] = h lim x → 1 - ⁡ g x

Pelo gráfico de h ( x ) percebemos que:

h lim x → 1 - ⁡ g x = h 1 = - 2

Passo 6

Assim, temos os seguintes limites laterais da direita para a esquerda, quando x → 1 + :

lim x → 1 + h ⁡ [ g x ] = h lim x → 1 + ⁡ g x

Pelo gráfico de h ( x ) percebemos que:

h lim x → 1 + ⁡ g x = h 3 = 0

Resposta

lim x → 1 - ⁡ [ g x ∙ h ( x ) ] = 4

lim x → 1 + ⁡ [ g x ∙ h ( x ) ] = - 6

lim x → 1 - ⁡ [ g x   o   h ( x ) ] = - 2

lim x → 1 + ⁡ [ g x   o   h ( x ) ] = 0

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