4. Seja

f x = x 2 + 4 x + 4 x 2 - 4 ,     s e   x < - 2 x + 6 - 2 x + 2 ,     s e   x > - 2

Calcule, caso exista,

lim x → - 2 ⁡ f x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dada uma função definida por partes em que para x < - 2 a função é definida por x 2 + 4 x + 4 x 2 - 4 mas para x > - 2 a função é definida por x + 6 - 2 x + 2 .

Com isso queremos calcular o lim x → - 2 ⁡ f x .

Tem ideia de como fazer isso? 😉

O limite de uma função em um ponto nada mais é do que o valor que a função tende a assumir naquele ponto.

Dessa forma, para o limite de f x existir em x = - 2 , os limites de x 2 + 4 x + 4 x 2 - 4 e x + 6 - 2 x + 2 tem que convergirem para o mesmo valor em x = - 2 .

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Primeiro vamos calcular o limite de x 2 + 4 x + 4 x 2 - 4 para x → - 2

lim x → - 2 ⁡ x 2 + 4 x + 4 x 2 - 4

Se aplicarmos o ponto - 2 , vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 , então o que podemos fazer é aplicar a regra de L’Hopital e derivar no numerador e o denominador

lim x → - 2 ⁡ x 2 + 4 x + 4 x 2 - 4 → lim x → - 2 ⁡ d x 2 + 4 x + 4 d x d x 2 - 4 d x

lim x → - 2 ⁡ 2 x + 4 2 x

Substituindo o ponto x = - 2

lim x → - 2 ⁡ x 2 + 4 x + 4 x 2 - 4 = lim x → - 2 ⁡ 2 x + 4 2 x = 2 - 2 + 4 2 - 2

lim x → - 2 ⁡ x 2 + 4 x + 4 x 2 - 4 = 0

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Agora vamos calcular o limite de x + 6 - 2 x + 2

lim x → - 2 ⁡ x + 6 - 2 x + 2

Novamente vamos cair em uma indeterminação então temos que aplicar a regra de L’Hopital novamente

lim x → - 2 ⁡ d x + 6 - 2 d x d x + 2 d x → lim x → - 2 ⁡ 1 2 x + 6 1

Aplicando o ponto

lim x → - 2 ⁡ x + 6 - 2 x + 2 = lim x → - 2 ⁡ 1 2 x + 6 1 = 1 2 - 2 + 6 1

lim x → - 2 ⁡ x + 6 - 2 x + 2 = 1 4

Dessa forma, como os resultados foram diferentes, então o limite não existe

lim x → - 2 ⁡ f x = ∄

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x → - 2 ⁡ f x = ∄

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5