Seja f : 0 ,   + ∞   ∈ R → R dada por f x = 2 x - ln ⁡ x .

a) Calcule lim x → 0 + ⁡ f ( x ) e lim x → + ∞ ⁡ f ( x )

b) Determine os valores de k ∈ R para que a equação f x = k admita exatamente duas soluções reais distintas.

Passo 1

Faaaala galera da USP... vamos matar essa juntos?

Nessa questão, temos uma função f x = 2 x - ln ⁡ x e queremos calcular o limite dela, para x tendendo a zero lateralmente a para x tendendo ao infinito.

Começando por lim x → 0 + ⁡ 2 x - ln ⁡ x , substituindo os valores teremos:

lim x → 0 + ⁡ 2 x - ln ⁡ x = 2 0 - ln ⁡ 0 + = 0 - - ∞ = 0 + ∞

E zero mais infinito, é puramente mais infinito, portanto:

lim x → 0 + ⁡ 2 x - ln ⁡ x = + ∞

Passo 2

Agora, queremos calcular

lim x → + ∞ ⁡ 2 x - ln ⁡ x = 2 ∞ - ln ⁡ + ∞

= ∞ - ∞

Que é uma indeterminação...

Podemos então aplicar l n no termo 2 x , para isso fazemos:

2 x = ln ⁡ e 2 x

Dessa forma, temos:

lim x ��� + ∞ ⁡ ln ⁡ e 2 x - ln ⁡ x

E pela propriedade de logaritmo, temos que a subtração de logaritmo é igual ao logaritmo da divisão:

l i m x → + ∞ ln ⁡ e 2 x x  

Como a função l n é uma função contínua, podemos aplicar:

l i m x → + ∞ ln ⁡ e 2 x x = ln ⁡ lim x → + ∞ ⁡ e 2 x x

E o limite de e 2 x / x com x tendendo a infinito resulta em:

lim x → + ∞ ⁡ e 2 x x = ∞ / ∞

Por l’hospital, podemos derivar em cima em baixo:

lim x → + ∞ ⁡ 2 e 2 x 1 = + ∞

Portanto, temos:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x - ln ⁡ x = ln ⁡ lim x → + ∞ ⁡ e 2 x x

= ln ⁡ ∞ = ∞

Passo 3

Para finalizar, queremos encontrar os valores de k cuja qual a função f x = 2 x - l n x resulta em dois valores distintos.

Vamos reparar no seguinte...

A função f x = 2 x - ln ⁡ x é definida apenas para valores 0 < x < + ∞ . Isso acontece por que a função ln ⁡ x só permite x positivo e diferente de zero.

E nós já calculamos o limite dessa função nas extremidades desse intervalo.

lim x → 0 + ⁡ 2 x - ln ⁡ x = + ∞

lim x → + ∞ ⁡ 2 x - ln ⁡ x = + ∞

Ou seja, essa é uma função que apresenta uma assíntota vertical em x = 0 e que vai pra infinito quando x vai para infinito. Ela faz algo mais ou menos assim.

Para que a equação f x = k possua duas soluções distintas, é necessário que k seja um valor que esteja acima desse mínimo da função.

Vou como exemplo colocar aqui um k qualquer que tem duas soluções distintas.

Nesse exemplo acima, x 1 e x 2 são as soluções distintas para a equação f x = k .

Beleza, precisamos então encontrar o mínimo dessa função e para isso, vamos deriva-la e igualar a zero.

d f x d x = 0

d   2 x - l n x d x = 0

2 - 1 x = 0

1 x = 2

x = 1 2

E substituindo na função teremos:

f x = 2 1 2 - ln ⁡ 1 2

f x = 1 - ln ⁡ 1 2

Aqui, podemos aplicar novamente as propriedades de logaritmo:

f x = 1 - ln ⁡ 1 - l n 2

E lembrar que l n 1 = 0 , afinal e 0 = 1 , portanto:

f x = 1 - 0 - l n 2 = 1 + l n 2

Portanto, para todo k > 1 + l n 2 a equação f x = k admite duas soluções distintas.

Resposta

a)

lim x → 0 + ⁡ 2 x - ln ⁡ x = + ∞

lim x → + ∞ ⁡ 2 x - ln ⁡ x = + ∞

b)

k > 1 + l n 2

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