10. Seja

f x = x 4 + 5 ,   s e   x ≤ - 2 a x + b ,   s e - 2 < x ≤ 1 x 2 - 1 ,   s e   x > 1

Determine os valores de a e b para que lim x → - 2 ⁡ f x e lim x → 1 ⁡ f x existam.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão temos que lembrar de uma coisinha: para o limite existir, os seus limites laterais tem que ser iguais, ou seja,

lim x → k ⁡ f x = lim x → k + ⁡ f x = lim x → k - ⁡ f x

A condição que o problema nos dá para encontrar a e b é que lim x → - 2 ⁡ f x e lim x → 1 ⁡ f x existam. Agora repara que os pontos x = - 2 e x = 1 são, justamente, os pontos em que a função muda de comportamente.

Em outras palavras, vamos ter que avaliar esses limites laterais para encontrar quem é a e b .

Passo 2

Começando por lim x → - 2 ⁡ f x .

Temos que para valores menores que - 2 , a função tem esse comportamento x 4 + 5 . Então vamos fazer,

lim x → - 2 - ⁡ f x = lim x → - 2 - ⁡ x 4 + 5 = 21

Agora vamos olhar para valores maiores que - 2 , onde a função terá esse comportamento a x + b . Logo,

lim x → - 2 + ⁡ f x = lim x → - 2 + ⁡ a x + b = - 2 a + b

E como para lim x → - 2 ⁡ f x existir temos que

lim x → - 2 - ⁡ f x = lim x → - 2 + ⁡ f x

Podemos dizer que,

21 = - 2 a + b

Opaaa, temos uma equação e duas icognitas! Então vamos avaliar a próxima condição para montar esse sistema.

Passo 3

Fazendo agora lim x → 1 ⁡ f x .

Temos que para valores menores que 1 , a função tem esse comportamento a x + b . Então vamos fazer,

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ a x + b = a + b

Agora vamos olhar para valores maiores que 1 , onde a função terá esse comportamento x 2 - 1 . Logo,

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → - 1 + ⁡ x 2 - 1 = 0

E como para lim x → 1 ⁡ f x existir temos que

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x

Podemos dizer que,

a + b = 0

Agora vamos montar o sistema!

Passo 4

Juntando as duas informações temos que

- 2 a + b = 21 a + b = 0

Pela segunda linha do sistema, temos que

- a = b

Substituindo na primeira linha, ficamos com

- 2 a - a = 21

a = - 21 3 = - 7

Logo,

  b = + 7

Resposta

a = - 7

b = + 7

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
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Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5