4. Seja

f x = x ,   s e   x < 1 3 ,   s e   x = 1 2 - x 2 ,   s e   1 < x ≤ 2 x - 3 ,   s e   x > 2

  1. Determine as quantidades a seguir, se existirem
    1. lim x → 1 - ⁡ f x
    2. lim x → 1 ⁡ f x
    3. f 1
    4. lim x → 2 - ⁡ f x
    5. lim x → 2 + ⁡ f x
    6. lim x → 2 ⁡ f x

  2. Esboce o gráfico de f

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos alguns limites para resolver. Vamos começar pelo primeiro.
    1. lim x → 1 - ⁡ f x
    2. Repara que em x = 1 é um ponto ondea função tem uma mudança de comportamento.

      Para valores de x menores que 1 , a função tem essa cara f x = x . Logo, para calcular x → 1 - , vamos usar essa parte da função. Fica assim:

      lim x → 1 - ⁡ x = 1

      Prontinho! Vamos para a próxima!

      Passo 2

    3. Aqui ele quer saber o lim x → 1 ⁡ f x , mas antes temo que ver se ele existe. Para isso acontecer, temos que os limites laterais devem ser iguais.
    4. lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x

      Já calculamos quanto era lim x → 1 - ⁡ f x . Agora vamso calcular lim x → 1 + ⁡ f x :

      lim x → 1 + ⁡ 2 - x 2 = 2 - 1 2 = 1

      Como,

      lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x = 1

      Temos que

      lim x → 1 ⁡ f x = 1

      Passo 3

    5. Agora precisamos saber quanto é f 1 , ou seja, que valor a função assume quando x = 1 . Olhando para a nossa f x , temos que
    6. f 1 = 3

      Passo 4

    7. lim x → 2 - ⁡ f x
    8. Repara que em x = 2 é outro ponto onde a função tem uma mudança de comportamento.

      Para valores de x menores que 2 , a função tem essa cara f x = 2 - x 2 . Logo, para calcular x → 2 - , vamos usar essa parte da função. Fica assim:

      lim x → 2 - ⁡ 2 - x 2 = 2 - 2 2 = - 2

      Passo 5

    9. lim x → 2 + ⁡ f x
    10. Já vimos que em x = 2 é outro ponto onde a função tem uma mudança de comportamento.

      Para valores de x maiores que 2 , a função tem essa cara f x = x - 3 . Logo, para calcular x → 2 + , vamos usar essa parte da função. Fica assim:

      lim x → 2 + ⁡ x - 3 = 2 - 3 = - 1

      Passo 6

    11. Aqui ele quer saber o lim x → 2 ⁡ f x , mas antes temo que ver se ele existe. Para isso acontecer, temos que os limites laterais devem ser iguais.

    lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ f x

    Porém, como verificamos nos passos anteriores, esses limites são diferentes.

    lim x → 2 - ⁡ f x ≠ lim x → 2 + ⁡ f x

    Logo, lim x → 2 ⁡ f x não existe!

    Passo 7

  2. Agora vamos esboçar esse gráfico, respeitando cada mudança de comportamento da função. Então a ideia é constuir em partes e fazer um gráfico único:

Resposta

No texto.

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5