3. Seja f : D → R , uma função contínua em todo seu domínio D = [ - 5,0 ) ∪ ( 0,9 ] = = { x ∈ R ∣ - 5 ≤ x < 0 ou 0 < x ≤ 9 } . Sobre f se sabe:

b) Se, além da tabela acima, também souber que

l i m x → 0 -   f ( x ) = 4,2   l i m x → 0 +   f ( x ) = 4,2

como isso afeta, se é que afeta, suas conclusões sobre o número garantido de soluções da equação f ( x ) = 4 ?

Passo 1

Os limites laterais de f ( x ) em x = 0 estão dados como:

l i m x → 0 -   f ( x ) = 4.2     e     l i m x → 0 +   f ( x ) = 4.2

Isso significa que f ( x ) está se aproximando de 4.2 à medida que x se aproxima de 0 tanto pelo lado esquerdo quanto pelo lado direito. Esses limites indicam que f ( x ) é contínua em x = 0 e que o valor de f ( x ) em x = 0 é igual a 4.2.

Vamos agora analisar a tabela de valores dada e considerar as informações adicionais dos limites:

Passo 2

Agora, sabemos que f ( 0 ) = 4.2 , o que significa que a função atinge o valor 4.2 no ponto x = 0 . Além disso, os valores da função nos pontos vizinhos de x = 0 estão próximos de 4.2. Isso nos leva a concluir que a função passa por 4.2 em uma região em torno de x = 0 .

Considerando o comportamento da função nos pontos vizinhos de x = 0 e que ela é contínua em x = 0 , podemos concluir que a função deve cruzar a linha y = 4 em x = 0 .

Portanto, a função f ( x ) tem pelo menos quatro soluções para a equação f ( x ) = 4 , sendo uma delas em x = 0 . A informa��ão adicional dos limites em x = 0 afeta as conclusões, aumentando o número garantido de soluções da equação f ( x ) = 4 .

Resposta

Portanto, a função f ( x ) tem pelo menos quatro soluções para a equação f ( x ) = 4 , sendo uma delas em x = 0 . A informação adicional dos limites em x = 0 afeta as conclusões, aumentando o número garantido de soluções da equação f ( x ) = 4 .

Exercícios de Livros Relacionados

Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5