Seja k ( n ) = ( 1 + 1 n ) n . Mostre que essa sequência é crescente e limitada (por exemplo, pelo 3 ).

Passo 1

Eaew, beleza?

Nós temos a seguinte relação para a o enésimo termo de uma sequência

k ( n ) = ( 1 + 1 n ) n

queremos mostrar que ela é crescente e limitada! Uma função crescente é tal que todos os seus elementos seguem um padrão da forma

k 1 < k 2 < k 3 < . . . < k n

ela será limitada, se for limitada superiormente e inferiormente, ou seja, existem um valor M ao qual k n ≤ M , em que n = 1,2 ,   . . .   ,   ∞ , assim como existem um valor m , tal que m ≤ k n para todo n . Vamos tentar verificar isso! Saca só!

Passo 2

Vamos escrever alguns termos de nossa sequência, para n = 1 , temos que

k ( 1 ) = ( 1 + 1 1 ) 1 = 2

da mesma forma, para n = 2 , temos que

k ( 2 ) = ( 1 + 1 2 ) 2 = ( 2 + 1 2 ) 2

ou simplesmente

k ( 2 ) = 9 4 = 2.25

Vamos fazer mais um, temos para n = 3 , que

k ( 3 ) = ( 3 + 1 3 ) 3 ≈ 2,37

Você pode usar qualquer valor para n e verá que a função estará sempre crescendo! Portanto, ela é crescente. Mas, como pode notar, ela sempre vai crescendo menos. Como sabemos se ela tem um limite superior? Vamos mexer com isso um pouco!

Passo 3

Para saber se ela tem um limite superior vamos calcular o seguinte limite

l i m x → ∞ [ 1 + 1 x ] x = M

se M existir, então a função é limitada! Resolver esse limite do zero é um pouco chatinho, mas, esse é um limite fundamental conhecido como

l i m x → ∞ [ 1 + 1 x ] x = e ≈ 2,7

ou seja, esse é o limite superior de nossa sequência, em particular M = 3 , também pode ser considerado como um limite superior, mas também poderiam ser M = 2,8 sem problema algum! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
Use o gráfico da função f x = 1 1 + e 1 x Para dizer o valor de cada limite, se existir. Se não existir, explique por quê. lim x → 0 - ⁡ f x lim x → 0 + ⁡ f x lim x → 0 ⁡ f ( x )
Estime o valor do limite lim x → 0 ⁡ 1 + x 1 x Com 5 casas decimais. Esse número lhe parece familiar?Confirme sua resposta da letra (a) fazendo o gráfico da função.
Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5