Verifique se existem os limites das seguintes funções em x = - 2 .

a) g x = x + 2 ,                           s e   x < - 2 x 2 + x - 2 ,     s e   x ≥ - 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função por partes g x = x + 2 ,                           s e   x < - 2 x 2 + x - 2 ,     s e   x ≥ - 2   e pediu pra gente verificar se o limite dela existe quando x → - 2 . Como é que a gente pode verificar isso?

Bom, existe um teorema que nos diz que o limite lim x → a ⁡ f ( x ) = L existe se, e somente se, os seus limites laterais também forem iguais, ou seja:

lim x → a - ⁡ f ( x ) = L = lim x → a + ⁡ f ( x )

Beleza, então o que gente tem que fazer é calcular esses limites laterais e ver se eles são iguais.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando o limite lateral pela esquerda:

lim x → - 2 - ⁡ g x

Como a nossa função g é definida por partes a gente precisa analisar os limites de acordo com o intervalo da função que a gente tá considerando.

O que significa esse limite pela esquerda? Significa que a gente tá calculando o limite para valores de x menores do que - 2 , valores negativos. E para valores menores que - 2 , ou seja, x < - 2 , a função tem a forma:

g x = x + 2

Beleza, então, o nosso limite fica assim:

lim x → - 2 - ⁡ x + 2

Como essa função é contínua, basta a gente substituir o valor - 2 em x :

lim x → - 2 - ⁡ x + 2 = - 2 + 2 = 0

Legal, né? Agora vamos ver o limite pela direita.

Passo 3

Calculando o limite pela direita, temos:

lim x → - 2 + ⁡ g ( x )

E aí, vamos analisar de novo o intervalo. Agora, como o limite vem da direita, a gente tá considerando valores maiores que - 2 . Dessa forma, a nossa função g ( x ) tema forma:

g x = x 2 + x - 2

Calculando o limite dessa função, nós temos:

lim x → - 2 + ⁡ x 2 + x - 2

Substituindo - 2 na função:

lim x → - 2 + ⁡ x 2 + x - 2 = - 2 2 + - 2 - 2

= 4 - 2 - 2

= 4 - 4 = 0

Agora percebe que os limite laterais nos deram valores iguais?

lim x → - 2 - ⁡ g ( x ) = 0

lim x → - 2 + ⁡ g ( x ) = 0

E como a gente tinha dito lá no passo 1 , quando isso acontece podemos dizer que o limite existe em x = - 2 .

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

O   l i m i t e   e x i s t e

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Faça o gráfico da função f x = sin ⁡ π x do Exemplo 4 na janela retangular - 1,1 por - 1,1 . Então dê um zoom em direção à origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa função.
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Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.14)lim x → 0 - ⁡ f x = 1 , lim x → 0 + ⁡ f x = - 1 ,lim x → 2 - ⁡ f x = 0 ,lim x → 2 + ⁡ f x = 1 , f 2 = 1 ,f 0
Para a função f cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, diga o por quê. lim x → 1 - ⁡ f x lim x → 1 + ⁡ f x lim x → 1 ⁡ f x lim x → 5 ⁡ f x f ( 5