Exercícios Resolvidos de Primeira Lei da Termodinâmica em Gases

UFRJ – Física 2 – 2019.1 – 2CH – M.Escolha

4 . Durante um processo termodinâmico de expansão de um gás ideal, observa-se que T V 2 = constante, onde T é a temperatura e V é o volume do gás. O trabalho realizado na expansão entre V 0 e 2 V 0 é W 1 , e o trabalho realizado na expansão entre 2 V 0 e 4 V 0 é W 2 . A razão entre W 2 / W 1 é

( a )   1 / 4 .

( b )   1 .

( c )   4 .

( d )   1 / 2 .

( e )   2 .

Passo 1

Vem comigo que a gente vai encarar esse problema de frente!

Temos em mãos um processo com gás ideal que sofre duas expansões, na primeira expansão temos um trabalho W 1 e na segunda expansão um trabalho W 2 e ele pede a razão entre esses trabalhos.

Então temos que encontrar esses trabalhos. Para isso vamos usar o fato de que:

W = - ∫ V i V f P d V

Só que essa pressão P varia com o volume, mas como temos um gás ideal a seguinte equação é válida:

P V = n R T

Logo:

P = n R T V

Mas a temperatura também varia com o volume, mas usando o fato de que segundo o enunciado temos P V 2 = constante, podemos fazer a seguinte manipulação:

P = n R T V V 2 V 2

= n R T V 2 V 3

Então o trabalho é dado por:

W = - ∫ V i V f n R T V 2 V 3 d V

Como todo o numerador é constante podemos jogá-lo para fora da integral, assim temos:

W = - n R T V 2 ∫ V i V f d V V 3

Então temos que resolver essa integral para cada expansão e achar o trabalho.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com a primeira expansão V 0 → 2 V 0 . Assim temos que:

W 1 = - n R T V 2 ∫ V 0 2 V 0 d V V 3

⇒ W 1 = - n R T V 2 - 1 2 V 2 V 0 2 V 0

Então temos que:

W 1 = n R T V 2 1 8 V 0 2 - 1 2 V 0 2

= n R T V 2 - 6 V 0 2 16 V 0 4

Logo temos que:

W 1 = - n R T V 2 3 8 V 0 2

Passo 3

Agora para W 2 a resolução da integral é a mesma que de W 1 o que muda são os limites de integração que nesse caso são 2 V 0 e 4 V 0 , assim temos que:

W 2 = - n R T V 2 - 1 2 V 2 2 V 0 4 V 0

Então temos que:

W 2 = n R T V 2 1 32 V 0 2 - 1 8 V 0 2

= n R T V 2 - 24 V 0 2 256 V 0 4

= n R T V 2 - 3 V 0 2 3 2 V 0 4

Logo temos que:

W 2 = - n R T V 2 3 32 V 0 2

Passo 4

Agora vamos achar a razão W 2 / W 1 . Temos o seguinte:

W 2 W 1 = - n R T V 2 3 32 V 0 2 - n R T V 2 3 8 V 0 2

= 8 V 0 2 32 V 0 2

Então temos que:

W 2 W 1 = 1 4

Logo a letra certa é a ( a ) .

Resposta

( a )   1 / 4

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