4 . Durante um processo termodinâmico de expansão de um gás ideal, observa-se que T V 2 = constante, onde T é a temperatura e V é o volume do gás. O trabalho realizado na expansão entre V 0 e 2 V 0 é W 1 , e o trabalho realizado na expansão entre 2 V 0 e 4 V 0 é W 2 . A razão entre W 2 / W 1 é

( a )   1 / 4 .

( b )   1 .

( c )   4 .

( d )   1 / 2 .

( e )   2 .

Passo 1

Vem comigo que a gente vai encarar esse problema de frente!

Temos em mãos um processo com gás ideal que sofre duas expansões, na primeira expansão temos um trabalho W 1 e na segunda expansão um trabalho W 2 e ele pede a razão entre esses trabalhos.

Então temos que encontrar esses trabalhos. Para isso vamos usar o fato de que:

W = - ∫ V i V f P d V

Só que essa pressão P varia com o volume, mas como temos um gás ideal a seguinte equação é válida:

P V = n R T

Logo:

T = P V n R

Usando o fato de que segundo o enunciado temos T V 2 = constante, podemos fazer a seguinte manipulação:

P V n R V 2 = c o n s t a n t e

R é a constante universal dos gases ideais e n é a quantidade de mol do gás, que não varia durante a expansão. Logo, n R é constante e podemos passar n R pro lado direito da equação, multiplicando.

P V V 2 = n R × c o n s t a n t e

P V 3 = n R × c o n s t a n t e

A multiplicação entre n R e a constante é uma constante. Logo:

P V 3 = c o n s t a n t e

Esse é um processo politrópico (processo no qual P V n = c o n s t a n t e ) com expoente n igual a 3 .

O trabalho de um processo politrópico é dado por:

W = P i V i - P f V f 1 - n

Então temos que descobrir quanto vale as pressões das duas expansões em função dos volumes.

Passo 2

A pressão inicial P i da expansão que vai de V 0 a 2 V 0 vale:

P i V i n = c o n s t a n t e

P i V 0 3 = c o n s t a n t e

P i = c o n s t a n t e V 0 3

A pressão final P f dessa mesma expansão vale:

P f V f n = c o n s t a n t e

P f 2 V 0 3 = c o n s t a n t e

P f = c o n s t a n t e 8 V 0 3

A pressão inicial P i da expansão que vai de 2 V 0 a 4 V 0 vale:

P i V i n = c o n s t a n t e

P i 2 V 0 3 = c o n s t a n t e

P i = c o n s t a n t e 8 V 0 3

A pressão final P f dessa mesma expansão vale:

P f V f n = c o n s t a n t e

P f 4 V 0 3 = c o n s t a n t e

P f = c o n s t a n t e 64 V 0 3

Agora só falta substituir essas pressões nas fórmulas de trabalho.

Passo 3

O trabalho W 1 vale:

W 1 = P i V i - P f V f 1 - n

W 1 = c o n s t a n t e V 0 3 V 0 - c o n s t a n t e 8 V 0 3 2 V 0 1 - 3

Reorganizando essa equação, achamos que:

W 1 = - 3 × c o n s t a n t e 8 V 0 2

Já o trabalho W 2 vale:

W 2 = P i V i - P f V f 1 - n

W 2 = c o n s t a n t e 8 V 0 3 2 V 0 - c o n s t a n t e 64 V 0 3 4 V 0 1 - 3

Reorganizando essa equação, achamos que:

W 2 = - 3 × c o n s t a n t e 32 V 0 2

Passo 4

Agora vamos achar a razão W 2 / W 1 . Temos o seguinte:

W 2 W 1 = - 3 × c o n s t a n t e 32 V 0 2 - 3 × c o n s t a n t e 8 V 0 2

= 8 V 0 2 32 V 0 2

Então temos que:

W 2 W 1 = 1 4

Logo a letra certa é a ( a ) .

Resposta

( a )   1 / 4

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