Exercícios Resolvidos de Primeira Lei da Termodinâmica em Gases

Teoria Cinética dos Gases

I I Três mols de nitrogênio estão em uma caixa cúbica e rígida, com lados medindo 0,200 m . Determine:

c) A força que o gás exerce sobre cada um dos seis lados da caixa quando a temperatura é de 20 ° C .

d) O trabalho realizado pelo gás quando a sua temperatura aumenta pra 80 ° C .

e) O número de graus de liberdade das moléculas e a energia cinética média por molécula no estado inicial.

f) A velocidade média quadrática no estado inicial.

Dados:

R = 8,31 N . m m o l . K  

M M N 2 = 28 g / m o l

N A = 6,02 × 10 23

Passo 1

c):

Vamos usar aqui a relação:

P V = n R T

Por que? Porque o enunciado nos dá a quantidade de mols ( n ) o volume e a temperatura do gás. Só nos pede a pressão.

Vamos antes de calcular, apenas converter a temperatura pra Kelvin, porque não dá pra usar em Celsius, né?

T K = 273 + 20 = 293 K

Ah, e precisamos calcular o volume do gás:

V = L 3 = 0,2 3 = 8 x 10 - 3 m 3

Então:

P = n R T V = 3 . 8,31 . 293 8 x 10 - 3 ≅ 9,13 x 10 5 P a

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, pra calcular a força que a essa pressão exerce em cada parede do recipiente, basta a gente usar a relação da fora com a pressão:

P = F A   → F = P . A

Bom, a área de uma parede é:

A = 0,2 2 = 4 x 10 - 2

Então:

F = 9,13 x 10 5 . 4 x 10 - 2 ≅ 3,65 x 10 4 N

Passo 3

d)

O que é o trabalho realizado por um gás? Não é dado pela integral abaixo?

W = ∫ P d V

Mas se não houver variação de volume, só de temperatura, tem como haver trabalho?

Claro que não! Então:

W = 0

Show?

Passo 4

e):

Bom, a molécula de Nitrogênio tem dois átomos, ou seja, é diatômica. Então, ela tem três graus de liberdade de translação e dois graus de liberdade de rotação.

Um total de 5 graus de liberdade:

g = 5

Olhando a nossa tabelinha:

Vemos que a fórmula pra calcular a energia cinética por molécula é:

E c m o l = g 2 k T

Onde k é a constante de Boltzmann:

k = 1,38 × 10 - 23   J / K

Assim:

E c m o l = 5 2 k T

Bem, T vale:

T = 293 K

Então:

E c m o l é c u l a = 5 2 k T = 5 2 . 1,38 × 10 - 23 . 293 ≅ 1,01 x 10 - 20 J

Passo 5

f):

Como vamos resolver isso?

Bem, sabemos que a energia cinética de translação, do curso de mecânica, é dada por:

E c i n t r a n s = m v 2 2

Então, a mesma energia pra uma molécula vaiser dada por:

E c i n t r a n s = m m o l é c u l a v q 2 2

Onde v q é a velocidade quadrática média que queremos achar.

Legal? Bom, mas nós queremos achar essa velocidade, e não sabemos com o que devemos comparar a equação da energia acima.

Mas lembra do item anterior? Bom, a energia cinética por molécula é dada por:

E c i n = g 2 k T

Só que queremos apenas a energia cinética de translação. Então o que faremos? Usaremos apenas os graus de liberdade de translação. Isso é: g = 3 :

E c i n t r a n s = 3 2 k T = 3 2 . 1,38 × 10 - 23 . 293

Então:

m m o l é c u l a v q 2 2 = 3 2 k T   → v q = 3 k T m m o l é c u l a  

Quanto é a massa de uma molécula? Basta a gente dividir o valor da massa molar pelo numero de moléculas que tem em um mol, ou seja, dividir pelo numero de Avogadro( N A ) .

Então:

m m o l é c u l a = 28 x 10 - 3 6,02 × 10 23

Assim:

v q = 3 k T m m o l é c u l a

v q = 3.1,38 × 10 - 23 . 293 28 x 10 - 3 6,02 × 10 23 ≅ 510   m / s

Resposta

c):

F = 3,65 x 10 4 N

d):

W = 0

e):

5 graus de liberdade.

E c m o l é c u l a ≅ 1,01 x 10 - 20 J

f):

v q ≅ 510   m / s

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