Exercícios Resolvidos de Primeira Lei da Termodinâmica em Gases

Um mol de um gás ideal diatômico, contido num recipiente munido de um pistão móvel, inicialmente a T 0 , se expande isotermicamente de um volume V 0 até que o seu volume triplique. A seguir sofre uma contração isobárica à pressão P até voltar ao seu volume inicial. Finalmente, o gás é aquecido isocoricamente até voltar à temperatura inicial.Considere que T 0 não ativa graus de liberdade vibracionais das moléculas do gás. Use l n   3   ≈   1 .

a) Desenhe o diagrama PV associado, indicando todos os pontos relevantes. Deixe claro cada um dos processos descritos acima.

b) Calcule a temperatura T do gás ao final da compressão isobárica, em termos de T 0 e R, a constante dos gases ideais.

c) Calcule o trabalho total realizado pelo gás,em termos de T 0 e R.

d) Calcule o calor trocado durante o aquecimento isocórico,em termos de T 0 e R.

e) Calcule o rendimento deste ciclo.

Passo 1

a) Vou chamar os pontos no processo de 1, 2 e 3.

Como no processo 1 → 2 o gás se expande isotermicamente, podemos escrever:

p 1 V 1 = p 2 V 2

V 1 = V 0

p 1 = p 0

V 2 = 3 V 0

A pressão em 2 vai ser menor que em 1!

p 2 = p 0 V 0 3 V 0

p 2 = p 0 3

Beleza! No processo 2 → 3 a pressão é constante, então:

p 3 = p 2

p 3 = p 0 3

E o enunciado disse pra gente que a pressão no ponto 3 é P! Então:

P = p 0 3

p 0 = 3 P

E como ele volta ao volume inicial:

V 3 = V 0

N processo 3 → 1 ele é aquecido isocoricamente até a temperatura inicial. Então esse processo vai ser uma reta vertical do ponto 3 até o ponto 1. E o gráfico vai ficar:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) No processo 2 → 3 como a pressão é constante, podemos escrever:

V 2 T 2 = V 3 T 3

3 V 0 T 0 = V 0 T 3

T 3 = T 0 3

Passo 3

c) Vamos calcular o trabalho em todos os processo!

No processo 1 → 2 :

W 12 = n R T 12 ln ⁡ V 2 V 1

W 12 = R T 0 ln ⁡ 3 V 0 V 0

W 12 = R T 0 ln ⁡ 3

W 12 = R T 0

No processo 2 → 3 :

W 23 = p 23 ∆ V 23

W 23 = P ( V 3 - V 2 )

W 23 = P ( V 0 - 3 V 0 )

W 23 = - 2 P V 0

No processo 3 → 1 :

∆ V 31 = 0

Então:

W 31 = 0

O trabalho total no ciclo vai ser:

W c i c l o = W 12 + W 23 + W 31

W c i c l o = R T 0 - 2 P V 0

Vamos melhorar essa resposta?

No ponto 3:

P V 0 = n R T 0 3

Como n=1:

P V 0 = R T 0 3

E trocando no trabalho:

W c i c l o = R T 0 - 2 R T 0 3

W c i c l o = R T 0 3

Passo 4

d) O calor no processo 3 → 1 vai ser a volume constante. Então:

Q 31 = c V n ∆ T 31

Lembrando que:

c V = g R 2

E g, o número de graus de liberdade, vai ser igual a 5 porque é um gás diatômico! Então:

c V = 5 R 2

Q 31 = 5 R 2 T 0 - T 0 3

Q 31 = 5 R T 0 3

Passo 5

e) O rendimento vai ser:

η = W c i c l o Q r e c e b i d o

O trabalho no ciclo nós já calculamos. Vamos calcular então o calor em todos os processos!

No processo 1 → 2 :

Como é um processo isotérmico, não tem variação de energia interna. Então:

Q 12 = W 12

Q 12 = R T 0

No processo 2 → 3 :

Como a pressão é constante, vamos usar:

Q 23 = c P n ∆ T

Q 23 = c V + R T 0 3 - T 0

Q 23 = 7 R 2 T 0 3 - T 0

Q 23 = - 7 R T 0 3

No processo 3 → 1 :

Já calculamos, né?

Q 31 = 5 R T 0 3

Como Q 23 é negativo:

Q r e c e b i d o = Q 12 + Q 31

Q r e c e b i d o = R T 0 + 5 R T 0 3

Q r e c e b i d o = 8 R T 0 3

O rendimento vai ser:

η = W c i c l o Q r e c e b i d o = R T 0 3 8 R T 0 3

η = 1 8 = 12,5 %

Resposta

a)

b) T 3 = T 0 3

c) W = R T 0 3

d) Q 31 = 5 R T 0 3

e) η = 1 8 = 12,5 %

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