Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

Passo 1

Primeiramente, vamos relembrar como calculamos o limite de uma sequência a n n = 1 ∞ :

lim n → ∞ ⁡ a n

No nosso caso, ficamos com:

lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 + cos ⁡ n n 3 + 3

Se esse limite existe e for um número, a sequência converge e o limite dela é este número. Caso contrário, ela diverge. O bom é que aquelas propriedades de limites de funções também servem aqui! Uma que vamos usar é:

lim n → ∞ ⁡ a n + b n = lim n → ∞ ⁡ a n + lim n → ∞ ⁡ b n

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Passo 2

Então vamos reescrever nosso limite assim:

lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 + cos ⁡ n n 3 + 3 = lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 n 3 + 3 + lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ n n 3 + 3

A primeira parte do limite podemos dividir o numerador e denominador por n 2 :

lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 n 3 + 3 = lim n → ∞ ⁡ 4 n + 3 n 2

Perceba que o denominador está indo para infinito, enquanto o numerador está fixo. Logo:

lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 n 3 + 3 = lim n → ∞ ⁡ 4 n + 3 n 2 = 0

Passo 3

Bom, agora vamos atacar a segunda parte do limite. Quando a gente se depara com funções periódicas, é muito comum usarmos o Teorema do Confronto e é isso o que faremos agora. Dá uma olhada:

- 1 ≤ cos ⁡ n ≤ 1

A ideia aqui é a gente manipular essa relação até aparecer ali no meio o termo que nos importa, que no nosso caso é cos ⁡ n n 3 + 3

- 1 n 3 + 3 ≤ cos ⁡ n n 3 + 3 ≤ 1 n 3 + 3

Show!!! Apareceu! Agora, a única coisa que precisamos fazer é jogar o limite em todos eles! Bora lá!

lim n → ∞ ⁡ - 1 n 3 + 3 ≤ lim n → ∞ ⁡ c o s ⁡ ( n ) n 3 + 3 ≤ lim n → ∞ ⁡ 1 n 3 + 3

0 ≤ lim n → ∞ ⁡ c o s ⁡ ( n ) n 3 + 3 ≤ 0

Portanto,

lim n → ∞ ⁡ c o s ⁡ ( n ) n 3 + 3 = 0

Passo 4

Maneiroooo! Podemos voltar pro limite que queremos calcular:

lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 + cos ⁡ n n 3 + 3 = lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 n 3 + 3 + lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ n n 3 + 3

lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 + cos ⁡ n n 3 + 3 = 0 + 0 = 0

Como encontramos um número, a sequência é convergente. E possui um limite que é o 0 .

Resposta

lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 + cos ⁡ n n 3 + 3 = 0

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