Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

6. Calcule os seguintes limites:

d) lim x → 0 ⁡ e x - 1 t g x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos apenas que calcular o limite de f x = e x - 1 t g x para x → 0 .

Parece complicado? 😬

Se simplesmente tentássemos substituir x por 0 iriamos cair em uma indeterminação 0 / 0 então quando isso acontece a primeira coisa que podemos pensar em aplicar é a regra de L ' H o p i t a l .

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador da fração de um limite para contornar o problema da indeterminação.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando o limite do problema

lim x → 0 ⁡ e x - 1 t g x = 0 0

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l ...

lim x → 0 ⁡ e x - 1 t g x = lim x → 0 ⁡ d e x - 1 d x d t g x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo e pela regra da cadeia, temos, temos

d e x - 1 d x = e x

d t g x d x = sec 2 ⁡ x

Substituindo no limite...

lim x → 0 ⁡ e x - 1 t g x = lim x → 0 ⁡ e x sec 2 ⁡ x = e 0 sec 2 ⁡ 0

lim x → 0 ⁡ e x - 1 t g x = 1

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x → 0 ⁡ e x - 1 t g x = 1

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