Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

Ver Teoria

Enunciado

Determine se a seguinte sequência possui limite

a n = 4 n 2 + cos ⁡ n n 3 + 3

Passo 1

Vamos calcular o limite desse termo geral quando n → ∞

lim n → ∞ ⁡ a n

Como temos um cosseno ali, isso nos dá indícios que temos que usar o teorema do sanduiche.

- 1 ≤ cos ⁡ n ≤ 1

4 n 2 - 1 ≤ 4 n 2 + cos ⁡ n ≤ 4 n 2 + 1

4 n 2 - 1 n 3 + 3 ≤ 4 n 2 + cos ⁡ n n 3 + 3 ≤ 4 n 2 + 1 n 3 + 3

Vamos fazer os limites dos extremos

Passo 2

lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 + 1 n 3 + 3 = lim n → ∞ ⁡ n 2 4 + 1 / n 2 n 3 1 + 3 / n 3 = lim n → ∞ ⁡ 4 + 1 / n 2 n 1 + 3 / n 3 = 4 ∞ = 0

A lógica é idêntica ao outro limite:

lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 - 1 n 3 + 3 = lim n → ∞ ⁡ n 2 4 - 1 / n 2 n 3 1 + 3 / n 3 = lim n → ∞ ⁡ 4 - 1 / n 2 n 1 + 3 / n 3 = 4 ∞ = 0

Logo:

lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 - 1 n 3 + 3 ≤ lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 + cos ⁡ n n 3 + 3 ≤ lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 + 1 n 3 + 3

0 ≤ lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 + cos ⁡ n n 3 + 3 ≤ 0

Pelo teorema do sanduíche esse limite vai ser 0 e essa sequência converge.

Resposta

O limite dela é 0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre que se l i m n → ∞a n = 0 e b n for limitada, então l i m n → ∞ a n b n = 0
Teoria e exemplos - Teorema da sequência intercalada: Prove o “teorema da sequência intercalada” para as sequências: { a n } e { b n } convergem para L , então a sequência a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ⋅ ⋅
Teoria e exemplos: Prove o Teorema 2.
Prove o Teorema 3.
A sequência {n/(n + 1)} tem um menor limitante superior igual a 1. Mostre que se M é um número menor que 1, então os termos de {n/(n + 1)} finalmente excedem M. Sendo assim, se M  M sempre que nN. Com