Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

Ver Teoria

Enunciado

Nos exercícios seguintes, verificar se as séries dadas são convergentes ou divergentes

e, no caso de convergência, dizer se é convergência absoluta ou condicional.

a )   ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3 e n

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Precisamos decidir se essa série aqui

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3 e n

É convergente ou divergente. E em caso de convergência, dizer ainda se a convergência é absoluta ou condicional. Mas você lembra desses conceitos?

Dizemos que uma série converge absolutamente quando o módulo da série converge! E aqui você pode usar qualquer teste para ver isso!

E quando o módulo diverge? Aí aplicamos o teste das séries alternadas! Se a série alternada convergir, dizemos que a série converge condicionalmente.

E se a série alternada diverge? Então a série é divergente mesmo!

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa série é

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3 e n

Agora a pergunta de milhões: qual teste escolher? Como temos uma razão de polinômio com exponencial: podemos usar o teste da razão para convergência absoluta

Relembrando dos critérios para o teste da razão:

Supondo uma série do tipo

∑ n = 1 ∞ a n

Fazendo

a n + 1 a n   = L

Temos três cenários

  • Se L < 1 : dizemos que a série converge absolutamente
  • Se L > 1 : dizemos que a série diverge
  • Se L = 1 : teste é inconclusivo

Nossa missão agora é determinar a razão a n + 1 / a n . Mas primeiro, vamos achar a n e a n + 1 :

a n = - 1 n n 3 e n

a n + 1 = - 1 n + 1 ( n + 1 ) 3 e n + 1

Não esquece que esses ( - 1 ) vão sumir porque estamos trabalhando com módulo. Então a nossa razão vai ficar:

a n + 1 a n = n + 1 3 e n + 1 . e n n 3 = n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 e n 3

Tudo bem até aqui?

Agora vamos avaliar o limite!

Passo 3

Agora vamos calcular o limite!

n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 e n 3  

Nosso instinto é substituir n por , mas aí temos uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . Nessas ocasiões, podemos pensar que no infinito irão se sobrepor os termos de maior expoente! sendo assim, podemos desconsiderar os outros termos

Aí nosso limite fica

L = n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 e n 3   = n 3 e n 3   = 1 e < 1

E esse valor é menor do que 1 ! Isso significa que nossa série converge absolutamente!

Vamos praticar mais?

Resposta

c o n v e r g e   a b s o l u t a m e n t e

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre que se underset(n - oo)(l i m) a_n = 0 e {b_n} for limitada, entãounderset(n - oo)(l i m) (a_n b_n) = 0
Teoria e exemplos - Teorema da sequência intercalada: Prove o “teorema da sequência intercalada” para as sequências: { a n } e { b n } convergem para L , então a sequência a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ⋅ ⋅
Teoria e exemplos: Prove o Teorema 2.
A sequência {n/(n + 1)} tem um menor limitante superior igual a 1. Mostre que se M é um número menor que 1, então os termos de {n/(n + 1)} finalmente excedem M. Sendo assim, se M  M sempre que nN. Com
Prove o Teorema 3.