Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Determine os limites a seguir:

g) lim x → 0 ⁡ t g   3 x - sin ⁡ ( 2 x ) sin 3 ⁡ ( x )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular o valor da função f x = t g   3 x - sin ⁡ ( 2 x ) sin 3 ⁡ ( x ) quando o valor de x se aproxima de infinito pela direita, ou seja, ele vai crescendo infinitamente.

Repare que a gente tem uma indeterminação, porque sin ⁡ 0 = 0 e nosso denominador não pode zerar. Sendo assim, temos que fugir dessa indeterminação. Para isso, vamos manipular um pouquinho nossa função e calcular o limite usando a regra de L’Hospital quantas vezes for necessário.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim x → 0 ⁡ t g   3 x - sin ⁡ 2 x sin 3 ⁡ x

Vamos começar já aplicando L’Hospital, derivando o numerador e o denominador separadamente:

lim x → 0 ⁡ 3 sec 2 ⁡ ( 3 x ) - 2 cos ⁡ ( 2 x ) 3 sin 2 ⁡ x cos ⁡ x

Nosso denominador continua zerando quando x = 0 , então vamos aplicar L’Hospital mais uma vez:

lim x → 0 ⁡ 18 sec 2 ⁡ 3 x t g 3 x + 4 sin ⁡ ( 2 x ) sin ⁡ ( 2 x ) cos ⁡ x - sin 3 ⁡ x

Caramba, ainda temos uma indeterminação.

Calma, vamos tentar só mais uma vez. Aplicando L’Hospital novamente:

lim x → 0 ⁡ 18 ( 6 sec 2 ⁡ 3 x t g 2 3 x + 3 sec 4 ⁡ ( 3 x ) ) + 8 cos ⁡ ( 2 x ) 2 cos ⁡ ( 2 x ) cos ⁡ ( 2 x ) - sin ⁡ x sin ⁡ 2 x - 3 sin 2 ⁡ x cos ⁡ x

Agora a gente tem um cosseno no denominador que não vai deixar ele zerar, então finalmente fugimos da indeterminação e podemos substituir o valor do limite:

= 18 ( 6 sec 2 ⁡ 0 t g 2 0 + 3 sec 4 ⁡ ( 0 ) ) + 8 cos ⁡ ( 0 ) 2 cos ⁡ ( 0 ) cos ⁡ ( 0 ) - sin ⁡ 0 sin ⁡ 0 - 3 sin 2 ⁡ 0 cos ⁡ 0

= 0 2 - 0 = 0

Uffa!! Prontinho, galera.

Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ t g   3 x - sin ⁡ ( 2 x ) sin 3 ⁡ ( x ) = 0

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