Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

Passo 1

Faaaaala aí! Para começar, temos que saber aonde queremos chegar, que é:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = e

Então, você não pode já começar afirmando isso. Faz assim, ó:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = x

Não acha mais justo? Você não sabe o que esse limite significa (a princípio), então chama de x !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como temos uma potência nesse limite, vamos usar o log para tirarmos o expoente, ok?

ln ⁡ lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = l n ⁡ ( x )

Pela propriedade de limites, temos:

lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ 1 + 1 n = l n ⁡ ( x )

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 1 n 1 n = l n ⁡ ( x )

Percebe que a gente tá com um caso de 0 0 no lado direito no limite. Aplicando L’Hôpital:

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n - 1 n 2 - 1 n 2 = l n ⁡ ( x )

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n = l n ⁡ ( x )

1 = ln ⁡ x

x = e

AEEEEEE, nasceu a criança!

x = e →   lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = e

Resposta

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = e

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