Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

7. A função

f x = e x - e - x sin ⁡ 2 x ,     s e   x < 0 1 ,     s e   x ≥ 0

É continua no intervalo de - π 4 , π 4 ?

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dada uma função definida por partes em que para x < 0 a função é dada por e x - e - x sin ⁡ 2 x e para x ≥ 0 a função é constante e igual a 1 .

Com isso queremos saber se a função é continua no intervalo - π 4 , π 4 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Se analisarmos a primeira parte da função, vamos ver que em x = 0 vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 , então para verificar se f é contínua, temos que calcular o limite dessa primeira parte e ver se ela tende a segunda parte de f quando x se aproxima de 0 .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Em outras palavras, o que temos que fazer é verificar se esse limite é satisfeito...

lim x → 0 ⁡ e x - e - x sin ⁡ 2 x = 1

Se sim, é porque a função f é contínua.

Calculando o limite do problema

lim x → 0 ⁡ e x - e - x sin ⁡ 2 x = 0 0

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l derivando o numerador e o denominador...

lim x → 0 ⁡ e x - e - x sin ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ d e x - e - x d x d sin ⁡ 2 x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo e pela regra da cadeia, temos

d e x - e - x d x = e x - - e x = 2 e x

d sin ⁡ 2 x d x = 2 cos ⁡ 2 x

Substituindo no limite

lim x → 0 ⁡ e x - e - x sin ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ 2 e x 2 cos ⁡ 2 x

lim x → 0 ⁡ e x - e - x sin ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ e x cos ⁡ 2 x

lim x → 0 ⁡ e x - e - x sin ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ e x cos ⁡ 2 x = e 0 cos ⁡ 0

lim x → 0 ⁡ e x - e - x sin ⁡ 2 x = 1

Portanto a função f é contínua.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

É contínua

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