Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Determine o limite

lim n → ∞ ⁡ n 1 + sen ⁡ π + 1 n

Escolha uma opção:

  1. 1 2
  2. 0
  3. - 1
  4. π

Passo 1

Olá galera, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos deu esse limite aqui

lim n → ∞ ⁡ n 1 + sen ⁡ π + 1 n

Substituindo temos o seguinte

lim n → ∞ ⁡ n 1 + sen ⁡ π + 1 n = ∞ 1 + sen ⁡ π + 1 ∞ = ∞ . s e n ( π ) = ∞ . 0

Chegamos a uma indeterminação!

Isso significa que precisamos manipular um pouco esse limite para podermos ter algo com 0 / 0 ou ∞ / ∞ para poder aplicar a regra de L’Hopital.

Lembrando que quando temos um limite que dá 0 / 0 ou ∞ / ∞ , pela Regra de L’Hopital podemos derivar em cima e embaixo, afim de levantar essa indeterminação e analisar novamente o limite.

E é isso que vamos fazer aqui!

Passo 2

E lá vem aviso de truque sujo! #adoro

Quando aparece esse tipo de indeterminação ( ∞ . 0 ), vê se tem um n multiplicando (ou um polinômio). Se tiver, podemos trocar por

1 1 n

Que é equivalente a n , mas quando fazemos essa troca, olha só o que acontece:

lim n → ∞ ⁡ n 1 + sen ⁡ π + 1 n = lim n → ∞ ⁡ 1 + sen ⁡ π + 1 n 1 / n = 0 / 0

E podemos aplicar a regra de L’Hopital!

Passo 3

Agora nosso limite é

lim n → ∞ ⁡ 1 + sen ⁡ π + 1 n 1 n

Aplicando L’Hopital temos:

lim n → ∞ ⁡ 1 + sen ⁡ π + 1 n ' 1 n '   = lim n → ∞ ⁡ c o s π + 1 n .   - 1 n 2 - 1 n 2  

Podemos cortar em cima e embaixo - 1 / n 2 :

lim n → ∞ ⁡ c o s π + 1 n

E agora podemos avaliar esse limite:

lim n → ∞ ⁡ c o s π + 1 n = c o s π + 1 ∞ = cos ⁡ π = - 1

Beleza? A opção correta é a letra (d)!

Tranquilo? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( d )

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