Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Determine os limites a seguir:

h) lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular o valor da função f x = 1 + 1 x 2 x quando o valor de x se aproxima de infinito pela direita, ou seja, ele vai crescendo infinitamente.

A gente não pode simplesmente substituir na função, então vamos manipular um pouquinho nossa função e calcular o limite usando a regra de L’Hospital.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 x

Vamos aplicar o ln na função pra tentar se livrar dessa exponencial de x :

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 1 x 2 x

Assim, pela propriedade de logaritmo, temos:

lim x → + ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 + 1 x 2

Ainda não dá pra gente substituir o limite, então vamos aplicar a regra de L’Hospital. Mas pra isso a gente tem que transformar o produto no expoente da função em um quociente, e assim derivar numerador e denominar. Então, temos:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 1 x 2 1 x

Derivando por L’Hospital, temos:

lim x → + ∞ ⁡ - 1 x 2 1 1 + 1 x - 1 x 2

Cancelando - 1 / x 2 em cima e embaixo:

lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + 1 x

Agora repare que quando x → + ∞ , temos 1 x → 0 . Logo,

lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + 1 x = 1

Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 x = 1

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