Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Calcule cada um dos seguintes limites usando a forma apropriada da Regra de L’Hôspital. (Deve exibir as formas indeterminadas)

a ) lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 / x

Passo 1

Fala aí galera, tudo na paz com vocês?

Nessa questão precisamos resolver o seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 / x

E, para isso o enunciado nos manda exibir as formas indeterminadas e aplicar a regra de L’hôspital.

Beleza?

Bom, como sempre, a etapa inicial no cálculo de limites é substituir o valor que x está tendendo. Aqui, temos x → ∞ , então vamos analisar. Se x → a um número muuuito grande, então o termo:

e x + x → ∞

Porém, o termo:

1 x → 0

Assim, temos um número que tende ao infinito, elevado a um expoente que tende a zero. Não conseguimos determinar isso!

Mas, da forma que está exposta essa indeterminação ainda não conseguimos aplicar a regra de L’hôspital.

Então, nossa primeira missão vai ser manipular essa expressão pra chegar na forma indeterminada padrão e depois usamos a regrinha de L’hôspital.

Segundo ela, se nós temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 , essa regra nos diz que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x  

Tranquilo?

Vamo nessa!

Passo 2

Temos o limite:

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 / x

Um truque muito bom de usar em situações como essa é que:

a = e ln ⁡ a

Assim, teremos:

e x + x 1 / x = e ln ⁡ e x + x 1 x

Pela propriedade dos logaritmos, temos:

e ln ⁡ e x + x 1 x = e 1 x ⋅ ln ⁡ e x + x

Daí, voltando para o limite vamos ter que:

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 / x = lim x → ∞ ⁡ e 1 x ⋅ ln ⁡ e x + x

Daí, podemos colocar o limite no próprio expoente:

lim x → ∞ ⁡ e 1 x ⋅ ln ⁡ e x + x = e lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x

Ou seja galera, conseguimos sair daquele limite feião, e chegar em:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x

E isso é muito bonito, porque quando substituímos pelo valor que x está tendendo chegamos em algo do tipo:

∞ ∞

Que é uma forma indeterminada padrão para aplicação da regra de L’hôspital.

Perfeito! Agora sim poderemos aplicar L’hôspital 😊

Passo 3

Queremos aplicar L’hôspital em:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x

Então, precisamos calcular as derivadas do numerador e denominador:

ln ⁡ e x + x ' = 1 e x + x ⋅ ( e x + 1 )

Já no denominador, vamos ter:

x ' = 1

Assim:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x = lim x → ∞ ⁡ 1 e x + x ⋅ e x + 1 1

= lim x → ∞ ⁡ e x + 1 e x + x

Se fizermos x tender a infinito ainda teremos uma indeterminação do tipo:

∞ ∞

Então, vamos aplicar L’hôspital mais uma vez:

lim x → ∞ ⁡ e x + 1 e x + x = lim x → ∞ ⁡ e x + 1 ' ( e x + x ) '    

Derivando vamos ter:

e x + 1 ' = e x

E:

e x + x ' = e x + 1

Então:

lim x → ∞ ⁡ e x + 1 ' ( e x + x ) '     = lim x → ∞ ⁡ e x e x + 1

Puts, ainda temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Mas não tem problema, vamos apicar L’hôspital mais uma vez (uma hora dá certo, tem que confiar!).

lim x → ∞ ⁡ e x e x + 1 = lim x → ∞ ⁡ e x ' e x + 1 '

Como:

e x ' = e x

E:

e x + 1 ' = e x

Temos:

lim x → ∞ ⁡ e x ' e x + 1 ' = lim x → ∞ ⁡ e x e x = 1

Aeee! Conseguimos matar o limite! Então essa é a nossa resposta? Nãaao. Vamos voltar um pouco atrás! Tínhamos chegado que:

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 / x = e lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x

Portanto:

lim x → ∞ ⁡ e x + x 1 x = e 1

= e

Agora simmm! E aí, curtiram? Responde Aí!

Resposta

e

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