Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Qual é o limite

lim n → ∞ ⁡ n n

Escolha uma opção:

  1. 1
  2. n
  3. - 1
  4. 0
  5. π

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O enunciado pediu para calcular esse limite aqui

lim n → ∞ ⁡ n n

Nosso primeiro instinto é substituir e ver o que dá, não é? Vamos ver o que temos substituindo n por :

lim n → ∞ ⁡ n n = ∞ 1 ∞ = ∞ 0

Poxa vida, caímos em uma indeterminação do tipo exponencial!

A ideia para resolver esse tipo de limite é essa:

  • Pegar a função na forma exponencial: A = n 1 n
  • Depois aplicar a exponencial do logaritmo dessa expressão. Isso porque e ln ⁡ ( A ) = A
  • Feito isso, podemos calcular lim n → ∞ ⁡ e ln ⁡ ( A ) . E aqui que vem nosso maior truque sujo! Vamos passar o limite lá para dentro do expoente do e ! Assim:

e lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ ( A )

E nosso problema fica calcular o limite daquele l n da função em n ! Com o resultado do limite na mão, substituímos ele de volta no expoente do e e aí é correr para o abraço!

Mas fica tranquilo, vamos fazer passo a passo juntos! Beleza?

Passo 2

Vamos pegar a expressão do termo geral e chamar de A :

A = n 1 n

Agora vem o truque sujo (parte 1): fazer a exponencial do logaritmo dessa expressão:

A = e ln ⁡ ( A ) = e ln ⁡ n 1 n

E agora queremos saber o limite dessa expressão quando n → ∞ :

lim n → ∞ ⁡ e ln ⁡ n 1 n

Aqui vem a parte 2 desse truque sujo: passar o limite para o expoente!

e lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 1 n      

Nosso próximo passo é calcular esse limite!

Passo 3

Passo 4

Pegando só o expoente a gente tem

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 1 n  

Como ainda temos a indeterminação dentro do logaritmo precisamos manipular essa função. O exponente do logaritmando pode passar multiplicando o l n

lim n → ∞ ⁡ 1 n . ln ⁡ n   = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n  

Avaliando esse limite temos ∞ / ∞ e para resolver essa indeterminação podemos usar a Regra de L’Hopital

A regra de L’Hopital consiste em derivar a função que está no numerador e no denominador

Depois disso avaliar novamente o limite no infinito. Mas olha só, se continuar aparecendo uma indeterminação, tenta manipular um pouco sua função e derivar de novo! Faz isso até sair essa indeterminação!

Beleza?

Voltando ao nosso limite

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n  

Derivando em cima e embaixo

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n   = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n ' n ' = lim n → ∞ ⁡ 1 n 1   = lim n → ∞ ⁡ 1 n  

Avaliando essa nova expressão para o limite temos

lim n → ∞ ⁡ 1 n   = 1 ∞ = 0

Uma observação antes de seguir: 1 / ∞ não é uma indeterminação, é apenas zero. Nosso denominador assume valores cada vez maiores enquanto o numerador é sempre 1 . Então o resultado disso tende à zero no infinito, sacou?

Pronto! Precisamos voltar para nossa exponencial

Passo 5

Lá do passo 2

e lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 1 n      

E esse limite acabamos de calcular

e lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 1 n     = e 0 = 1

Feito! Encontramos a resposta para o limite inicial! A alternativa com a resposta correta é a letra (a).

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( a )

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