Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

Ver Teoria

Enunciado

Calcule os seguintes limites, caso existam (identifique a indeterminação):

a) lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ ( x )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular o valor da função f x = x ln ⁡ ( x ) quando o valor de x se aproxima muito de zero por valores positivos.

Repare que apenas substituindo zero no lugar de x , nós teríamos:

0 ln ⁡ ( 0 ) = 0 ln ⁡ ( 0 )

Só que o ln ⁡ ( 0 ) é indefinido, não está no domínio da função. Assim, temos uma indeterminação. Então, vamos manipular um pouquinho nossa função pra sair da indeterminação e conseguir calcular o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x

Já que a gente não pode substituir 0 na função, vamos usar a regra de L’Hospital pra nos dar uma ajudinha, mas antes precisamos escrever a função como um quociente:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 x

Derivando o numerador e o denominador separadamente, temos:

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 1 2 x 3 / 2

Simplificando, temos:

lim x → 0 + ⁡ - 2 x 1 / 2

Inserindo o valor do limite agora:

- 2 0 1 / 2 = 0

Prontinho, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ ( x ) = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre que se underset(n - oo)(l i m) a_n = 0 e {b_n} for limitada, entãounderset(n - oo)(l i m) (a_n b_n) = 0
Teoria e exemplos - Teorema da sequência intercalada: Prove o “teorema da sequência intercalada” para as sequências: { a n } e { b n } convergem para L , então a sequência a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ⋅ ⋅
Teoria e exemplos: Prove o Teorema 2.
A sequência {n/(n + 1)} tem um menor limitante superior igual a 1. Mostre que se M é um número menor que 1, então os termos de {n/(n + 1)} finalmente excedem M. Sendo assim, se M  M sempre que nN. Com
Prove o Teorema 3.