Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Num jogo de perguntas e respostas a probabilidade do participante reduz à metade da probabilidade anterior depois de cada pergunta. Suponha que a probabilidade inicial de acerto é de 75 % .

  1. Qual é a probabilidade P N de acerto da resposta após n perguntas?
  2. A longo prazo, i.e., quando n tender ao infinito, qual é a probabilidade de acerto do participante do jogo?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O enunciado disse que em um jogo de perguntas e respostas a probabilidade do jogador acertar se reduz à metade a cada jogada.

A ideia aqui é relacionar essa redução de chance de acertos com o número de jogadas n e com a probabilidade inicial. Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você

A probabilidade inicial é de 75 % , ou seja

P 0 = 0,75

E para cada vez que o participante joga, essa porcentagem se reduz à metade. Sendo assim, na primeira jogada temos uma probabilidade de

P 1 = 1 2 ( 0,75 )

Na segunda vez

P 2 = 1 2 P 1 = 1 2 . 1 2 ( 0,75 )

Na terceira vez

P 3 = 1 2 P 2 = 1 2 . 1 2 . 1 2 ( 0,75 )

E assim em diante

Então, a probabilidade de acerto após n perguntas é

P n = 1 2 n 0,75 = 0,75 . 0,5 n

Beleza?

Passo 2

Agora o problema pergunta a probabilidade a longo prazo, isto é, quando n → ∞

Isso significa calcular o limite da probabilidade P n para n → ∞

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n 0,75 = 0,75 1 2 ∞ = 0  

A cada jogada a chance de acerto fica cada vez menor e vai tendendo a zero.

Até a próxima!

Resposta

P n = 1 2 n 0,75

P ∞ = 0

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