Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Calcule os seguintes limites, identificando o tipo da indeterminação, caso exista:

a) lim x → 0 ⁡ e x - e - x tan ⁡ ( x )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular o valor da função f x = e x - e - x tan ⁡ ( x ) quando o valor de x se aproxima muito de zero.

Repare que apenas substituindo zero no lugar de x , nós teríamos:

e 0 - e - 0 tan ⁡ 0 = 1 - 1 0 = 0 0

Portanto, temos uma indeterminação. Então, vamos manipular um pouquinho nossa função pra sair da indeterminação e conseguir calcular o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim x → 0 ⁡ e x - e - x tan ⁡ x

Já que a gente não pode substituir 0 na função, vamos usar a regra de L’Hospital pra nos dar uma ajudinha. Derivando o numerador e o denominador separadamente, temos:

lim x → 0 ⁡ e x + e - x sec 2 ⁡ x

O numerador não mudou muito, mas repare que o denominador não zera mais, porque sec 2 ⁡ 0 = 1 . Assim, temos:

e 0 + e - 0 sec 2 ⁡ 0 = 1 + 1 1 = 2

Prontinho, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ e x - e - x tan ⁡ ( x ) = 2

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