Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Qual o limite da sequência a n n ∈ N , definida por

a n = ln ⁡ ( n + 1 ) - ln ⁡ ( n ) ?

Escolha uma opção:

  1. - ∞
  2. 1
  3. π
  4. 0

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O enunciado pediu para calcular o limite da sequência a n , isto é, o problema quer que a gente calcular o limite de a n quando n → ∞

a n = ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n

Nosso primeiro instinto é substituir e ver o que dá, não é? Vamos ver o que temos substituindo n por :

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n = ln ⁡ ∞ + 1 - ln ⁡ ∞ = ∞ - ∞

Poxa vida, caímos em uma indeterminação do tipo infinito menos infinito!

A ideia para resolver esse tipo de limite é manipular a expressão para o termo geral a n (dica: usar a propriedade da subtração de logaritmos) para levantar essa indeterminação e aplicar de novo o limite

Mas fica tranquilo, vamos fazer passo a passo juntos! Beleza?

Passo 2

Vamos começar lembrando da propriedade da subtração dos logaritmos

ln ⁡ A - ln ⁡ B = ln ⁡ A B

Então voltando para a nossa expressão do termo geral

a n = ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n

Aplicando a propriedade da subtração temos o seguinte

a n = ln ⁡ n + 1 n

E aplicando novamente o limite

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 n = ln ⁡ ∞ ∞

Opa, temos uma indeterminação dentro do l n ! Poxa vida!

Mas calma lá! Tem um truque sujo que podemos aplicar aqui! #ALERTATRUQUESUJO

Passo 3

O limite tem uma coisa muito legal: ele é um operador linear e pode ‘atravessar’ o ln e ir direto para dentro do argumento, saca só

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 n = ln ⁡ lim n → ∞ ⁡ n + 1 n = ln ⁡ X

E agora nosso foco é calcular aquele limite dentro do l n :

X = lim n → ∞ ⁡ n + 1 n = ∞ ∞

Mais uma indeterminação! Mas juro, é a última! Essa indeterminação é do tipo ∞ / ∞ e podemos aplicar a regra de L’hopital!

A regra de L’hopital consiste em derivar em cima e embaixo e aplicar novamente o limite. É isso que vamos fazer

X = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ' n ' = lim n → ∞ ⁡ 1 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 = 1

Ok? Tranquilo? Agora voltamos para o logaritmo, já que temos o resultado de X :

ln ⁡ X = ln ⁡ 1 = 0

Assim o limite da sequência é:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 n = lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Beleza?

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

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