Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Para qualquer valor de r > 0 , a sequência a n n ∈ N definida por a n = n r n converge?

Escolha uma opção:

Verdadeiro

Falso

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos deu uma sequência a n definida por

a n = n r n

Dizendo que r é sempre positivo.

E perguntou se essa sequência converge ou não.

Bom, dizer que uma sequência converge (ou não) é analisar o comportamento dela quando n → ∞

Então precisamos descobrir o limite desse a n quando n → ∞

Uma sequência converge quando o limite existe e vale algum número. E ela diverge quando o limite não existe ou vai para , beleza?

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Vamos lá?

Passo 2

Precisamos então calcular o limite de

lim n → ∞ ⁡ n r n

Sabemos apenas que r > 0 , precisamos testar esse limite para r < 1 e r > 1 . Vamos começar com r > 1

Supondo r = 2 > 1 , poderia ser qualquer número, escolhi o 2 por simplicidade mesmo

Vamos calcular esse limite

lim n → ∞ ⁡ n . 2 n

Como o limite de um produto é o produto dos limites, temos:

lim n → ∞ ⁡ n . 2 n = lim n → ∞ ⁡ n .   lim n → ∞ ⁡ 2 n = ∞ . ∞ = ∞

Poxa vida, quando r > 1 essa sequência estoura para infinito!

Então até aqui essa sequência é divergente.

Vamos ver como ela se comporta para r < 1 ?

Passo 3

Supondo r = 1 2 < 1 , o limite fica

lim n → ∞ ⁡ n . 1 2 n = lim n → ∞ ⁡ n 2 n = ∞ ∞

Aqui encontramos uma indeterminação, precisamos aplicar a regra de L’Hopital para sair desse enrosco!

A regra de L’Hopital consiste em, quando temos uma indeterminação 0 / 0 ou ∞ / ∞ , derivamos a função do numerador e do denominador para levantar essa indeterminação, e avaliamos novamente o limite.

Vamos derivar?

lim n → ∞ ⁡ n ' 2 n ' = lim n → ∞ ⁡ 1 2 n log e ⁡ 2 = 1 ∞ = 0

Nosso limite deu um número diferente de zero! Logo, para r < 1 a sequência é convergente!

Obs.: atenção aqui para a derivada de exponencial:

Passo 4

Voltando ao exercício, ele nos afirmou que, para a sequência a n definida por a n = n r n   ,com r positivo, essa sequência converge.

Vimos que se r < 1 ela converge e se r > 1 ela diverge.

Como não temos uma restrição para o valor de r , apenas no sinal, então a afirmação de que essa sequência converge é falsa.

Até a próxima!

Resposta

f a l s o

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