Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Mostre que

b) lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x 2 + y 2 1 - cos ⁡ x 2 + y 2 = 2 . Use coordenadas polares e a regra de L’Hopital.

Passo 1

Eaí pessoaaal, tudo certinho?

Nessa questão precisamos mostrar que:

lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x 2 + y 2 1 - cos ⁡ x 2 + y 2 = 2

Ou seja, vamos calcular esse limite e mostrar que ele vale 2 . Para isso, o enunciado nos manda usar coordenadas polares e a regra de L’hopital.

Gente, a ideia de coordenadas polares mais tranquila do que parece. Sabem que costumamos nos orientar em um plano cartesiano usando ( x , y ) né?

Com coordenadas polares, nos orientamos usando ( ρ ,   θ ) , onde:

x = ρ c o s θ y = ρ s e n θ

E, a relação talvez mais importante em coordenadas polares é que:

x 2 + y 2 =   ρ 2 cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ =   ρ 2

Massa! Depois de usarmos essa ideia, vamos usar a regra de L’hopital. Ela basicamente nos diz que se um do tipo:

lim u → u 0 ⁡ f g

tem uma indeterminação do tipo 0 / 0 ou ∞ / ∞ , então podemos afirmar que:

lim u → u 0 ⁡ f g = lim u → u 0 ⁡ f ' g '

Tranquilo? Agora que já revisamos essas ideias vamos aplicá-las 😊

Passo 2

Começando pela ideia de coordenadas polares! Temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x 2 + y 2 1 - cos ⁡ x 2 + y 2

Se fizermos:

x = ρ c o s θ y = ρ s e n θ

Teremos que ρ → 0 e o nosso limite vira:

lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x 2 + y 2 1 - cos ⁡ x 2 + y 2 = lim ρ → 0 ⁡ s e n ρ 2 1 - cos ⁡ ρ

Ou seja, após usar coordenadas polares nosso problema se resumiu a resolver o limite de função de uma variável:

lim ρ → 0 ⁡ s e n ρ 2 1 - cos ⁡ ρ

Excelente!

Passo 3

Pra resolver esse limite, deveremos usar L’hopital. Mas, para usá-lo precisamos antes verificar se ocorre algo do tipo 0 / 0 ou ∞ / ∞ nele. Por isso, vamos substituir ρ pelo número que ele está tendendo:

lim ρ → 0 ⁡ s e n ρ 2 1 - cos ⁡ ρ = s e n 0 2 1 - cos ⁡ 0 = 0 0

Vuoualá! De fato, é algo do tipo 0 / 0 . Então, usando L’hopital podemos escrever que:

lim ρ → 0 ⁡ s e n ρ 2 1 - cos ⁡ ρ = lim ρ → 0 ⁡ s e n ρ 2 ' 1 - cos ⁡ ρ '  

Vamos então calcular essas derivadas separadamente:

s e n ρ 2 ' = d s e n u d u ⋅ d ρ 2 d ρ

onde u = ρ 2   .  

Assim:

s e n ρ 2 ' = cos ⁡ ρ 2 ⋅ 2 ρ

Beleza! Vamo pro próximo!

1 - cos ⁡ ρ ' = d 1 d ρ - d cos ⁡ ρ d ρ

= 0 - - s e n ρ

= s e n ( ρ )

Substituindo no nosso limite, temos:

lim ρ → 0 ⁡ s e n ρ 2 ' 1 - cos ⁡ ρ '   =   lim ρ → 0 ⁡ cos ⁡ ρ 2 ⋅ 2 ρ s e n ( ρ )  

Se substituirmos novamente ρ por 0 , teremos:

lim ρ → 0 ⁡ cos ⁡ ρ 2 ⋅ 2 ρ s e n ( ρ )   = 0 0

Outra indeterminação. Então, podemos aplicar L’hopital mais uma vez!

Passo 4

Usando L’hopital novamente:

lim ρ → 0 ⁡ cos ⁡ ρ 2 ⋅ 2 ρ s e n ( ρ )   =   lim ρ → 0 ⁡ cos ⁡ ρ 2 ⋅ 2 ρ ' s e n ρ '  

Calculando essas derivadas individualmente:

cos ⁡ ρ 2 ⋅ 2 ρ '

Pela regra do produto:

cos ⁡ ρ 2 ⋅ 2 ρ ' = cos ⁡ ρ 2 ' ⋅ 2 ρ + cos ⁡ ρ 2 ⋅ ( 2 ρ ) '

= 2 ρ ⋅ s e n ρ 2 ⋅ 2 ρ + 2 ⋅ c o s ⁡ ( ρ 2 )

Já para o denominador:

s e n   ρ ' = c o s ⁡ ( ρ )

Substituindo no limite, temos:

lim ρ → 0 ⁡ cos ⁡ ρ 2 ⋅ 2 ρ ' s e n ρ '   = lim ρ → 0 ⁡ 2 ρ ⋅ s e n ρ 2 ⋅ 2 ρ + 2 ⋅ cos ⁡ ρ 2 cos ⁡ ρ

Daí, tentando novamente substituir ρ por 0 (e cruzando os dedos pra não aparecer outra indeterminação haha), temos:

lim ρ → 0 ⁡ 2 ρ ⋅ s e n ρ 2 ⋅ 2 ρ + 2 ⋅ cos ⁡ ρ 2 cos ⁡ ρ = 2 ⋅ 0 ⋅ s e n 0 ⋅ 2 ⋅ 0 + 2 ⋅ cos ⁡ 0 0

= 0 + 2 ⋅ 1 1

= 2

Olha que lindooo!! Finalmente chegamos que:

lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x 2 + y 2 1 - cos ⁡ x 2 + y 2 = 2

Como queríamos provar 😊

Então finalizamos gente! Obrigado pela atenção, até a próxima 😊

Resposta

Resposta no texto.

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