Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

UNICAMP, Cálculo 3, P2 - 2011.1 - Noturno, Questão 4a

( a ) Estude a convergência da sequência quando n . Se convergir calcule o limite e se divergir justifique:

n 1 n

Passo 1

Vamos estudar o comportamento da sequência com termo geral

a n = n 1 n

quando n . Isto é, queremos verificar se existe um L = lim n a n .

Para isso, vamos usar um truque algébrico. Dá pra ver o expoente ali, 1 / n ? Então, vamos aplicar l n dos dois lados para facilitar o cálculo.

L = lim n n 1 n

ln L = lim n ln n 1 n

ln L = lim n   1 n  ln n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, até aí tudo bem. Mas aí você percebe que na fração dentro dos colchetes, quando n , o numerador ln n tende a infinito e o denominador n também.

Isso é uma indeterminação, então para sair dela usamos L’Hospital: deriva em cima e deriva embaixo.

d d n ln n = 1 n

d d n n = 1

Logo:

ln L = lim n   1 / n 1

ln L = 0

Finalmente, encontramos L = e 0 = 1 , mostrando que a sequência converge para o limite L .

Resposta

Converge: L = 1 .

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