Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

USP, Cálculo 4, P1 - 2010, Questão 1b

Determine se a sequência a n n N converge, e em caso afirmativo, calcule o limite:

  a n = - 1 n n + 2 ln n n n + 1

Passo 1

Para uma sequência convergir, sabemos que:

lim n a n = L

Onde L é um número real, então é isso que precisamos verificar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos separar a cara desse a n , porque ela tem uma cara complicada, parece ser mais fácil trabalhar com dois termos, e evidentemente, se essas duas sequências convergirem, então a n também converge:

a n = - 1 n n n n + 1 + 2 ln n n n + 1

Vamos chamar de:

b n = - 1 n n n n + 1

E:

c n = 2 ln n n n + 1

Passo 3

Então:

lim n b n = lim n - 1 n n n n + 1 = lim n - 1 n n + 1 n

Como sabemos que - 1 - 1 n 1

E que n

E que 1 n 0

Então:

lim n - 1 n n + 1 n = 0

Passo 4

lim n c n = lim n 2 ln n n n + 1

Vemos que essa é uma inderteminação do tipo , logo, aplicando L ' H o s p i t a l :

lim n 2 ln n n n + 1 = lim n 2 n 3 2 n 1 2 = lim n 4 3 n 3 2 = 0

Passo 5

Assim, vemos que a sequência converge e tem seu valor dado por:

lim n a n = lim n b n + lim n c n = 0

Resposta

lim n a n = 0

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