Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Determine os limites a seguir:

d) lim x → 0 + ⁡ 1 x 2 - 1 sin ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular o valor da função f x = 1 x 2 - 1 sin ⁡ x quando o valor de x se aproxima de 0 pela direita, ou seja, se aproxima por valores maiores que 0 .

Repare que a função não está definida para x = 0 , porque o denominador da função seria zero (e isso não pode acontecer). Sendo assim, temos que fugir dessa indeterminação. Para isso, vamos manipular um pouquinho nossa função e verificar o resultado do nosso limite.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim x → 0 + ⁡ 1 x 2 - 1 sin ⁡ x

Vamos começar colocando 1 / x 2 em evidência:

lim x → 0 + ⁡ 1 x 2 1 - 1 sin ⁡ x 1 x 2

Então, como o limite do produto é igual ao produto dos limites, temos:

lim x → 0 + ⁡ 1 x 2 ∙ lim x → 0 + ⁡ 1 - 1 sin ⁡ x 1 x 2

Repare no primeiro limite. Quando x vai ficando cada vez menor, o resultado da nossa divisão vai ficando cada vez maior, então:

lim x → 0 + ⁡ 1 x 2 = ∞

Passo 3

Agora vamos pensar no segundo limite:

lim x → 0 + ⁡ 1 - 1 sin ⁡ x 1 x 2

Fazendo a divisão de frações e separando os limites novamente:

lim x → 0 + 1 - lim x → 0 + ⁡ x 2 sin ⁡ x

O limite da esquerda nós sabemos que é igual a 1 , porque é o limite de uma constante. E como 1 sin ⁡ x = csc ⁡ x , temos:

1 - lim x → 0 + ⁡ x 2 csc ⁡ x

A gente pode reescrever essa função como uma fração pra usar a regra de L’Hospital. Assim:

1 - lim x → 0 + ⁡ x 2 1 csc ⁡ x

Derivando numerador e denominador separadamente, temos:

1 - lim x → 0 + ⁡ 2 x cos ⁡ x

Agora podemos substituir x = 0 :

= 1 - 2 ∙ 0 cos ⁡ 0 = 1 - 0 1 = 1

Juntando os dois resultados que encontramos:

lim x → 0 + ⁡ 1 x 2 - 1 sin ⁡ x = ∞ ∙ 1 = ∞

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 + ⁡ 1 x 2 - 1 sin ⁡ x = ∞

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