Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Calcule cada um dos seguintes limites usando a forma apropriada da Regra de L’Hôspital. (Deve exibir as formas indeterminadas)

c ) lim θ → π 2 - ⁡ ln ⁡ t g θ t g θ

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo na paz?

Nessa questão precisamos resolver o seguinte limite:

lim θ → π 2 - ⁡ ln ⁡ t g θ t g θ

E, para isso o enunciado nos manda exibir as formas indeterminadas e aplicar a regra de L’hôspital.

Beleza?

Bom, como sempre, a etapa inicial no cálculo de limites é substituir o valor que x está tendendo.

Vamos ter:

lim θ → π 2 - ⁡ ln ⁡ t g θ t g θ → ∞ ∞

Pois a t g   θ → ∞ quando θ → π 2 - .

Mas beleza, já temos então a indeterminação no formato padrão pra aplicação da regra de L’hôspital.

Segundo ela, se nós temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 , essa regra nos diz que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

Massa! Vamos lá aplicar essa regrinha então 😊

Passo 2

Bom, temos que calcular o limite:

lim θ → π 2 - ⁡ ln ⁡ t g θ t g θ

Aplicando a regra de L’hôspital, temos:

lim θ → π 2 - ⁡ ln ⁡ t g θ t g θ = lim θ → π 2 - ⁡ ( ln ⁡ t g θ ) ' ( t g θ ) '

Beleza! Vamos calcular essas derivadas:

ln ⁡ t g θ '

Aqui precisamos usar a regra da cadeia, vamos ter:

ln ⁡ t g θ ' = 1 t g θ ⋅ t g   θ '

= 1 t g   θ ⋅ sec 2 ⁡ θ

Show! Já no denominador, temos:

t g   θ ' = sec 2 ⁡ θ

Logo:

lim θ → π 2 - ⁡ ( ln ⁡ t g θ ) ' t g θ ' = lim θ → π 2 - ⁡ 1 t g   θ ⋅ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ

= lim θ → π 2 - ⁡ 1 t g   θ

Daí, substituindo o valor que a θ está tendendo, teremos:

lim θ → π 2 - ⁡ 1 t g   θ → 1 ∞

= 0

Portanto:

lim θ → π 2 - ⁡ ln ⁡ t g θ t g θ = 0

Prontinho pessoal! É isso aí!

Espero que vocês tenham curtido 😊

Resposta

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