Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Calcule cada um dos seguintes limites usando a forma apropriada da Regra de L’Hôspital. (Deve exibir as formas indeterminadas)

b ) lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x ⋅ t g π x 2

Passo 1

E aí gente bonita do Responde Aí, como é que vocês estão?

Nessa questão precisamos resolver o seguinte limite:

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x ⋅ t g π x 2

E, para isso o enunciado nos manda exibir as formas indeterminadas e aplicar a regra de L’hôspital.

Beleza?

Bom, como sempre, a etapa inicial no cálculo de limites é substituir o valor que x está tendendo.

Vamos ter:

ln ⁡ 1 ⋅ t g π 2

O que nos dá algo do tipo:

0 ⋅ ∞

Ou seja, uma indeterminação.

Mas, como o nosso objetivo é aplicar a regra de L’hôspital precisamos chegar em uma daquelas duas indeterminações padrão ( 0 / 0 ou ∞ / ∞ ).

Por isso, nossa primeira missão vai ser manipular a expressão dentro do limite até chegar em uma indeterminação como essa, e depois iremos usar a regra de L’hôspital pra calcular o limite.

Segundo ela, se nós temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 , essa regra nos diz que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

Show de bola! Vamos nessa então 😊

Passo 2

Bom, temos o limite:

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x ⋅ t g π x 2

Mas, sabemos que:

t g π x 2 = s e n π x 2 cos ⁡ π x 2

Substituindo na nossa expressão, temos:

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x ⋅ s e n π x 2 cos ⁡ π x 2

Olha que legal, fazendo isso conseguimos chegar na indeterminação padrão. Basta substituir x → 1 + pra verificar:

ln ⁡ 1 ⋅ s e n π 2 cos ⁡ π 2 = 0 ⋅ 1 0

= 0 0

Muito bom! Conseguimos chegar na indeterminação padrão!

Passo 3

Agora que atingimos a indeterminação padrão, podemos usar a regra de L'hôspital.

Antes disso, temos:

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x ⋅ s e n π x 2 cos ⁡ π x 2 = lim x → 1 + ⁡ s e n π x 2 ⋅ lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x cos ⁡ π x 2

= 1 ⋅ lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x cos ⁡ π x 2

Massa! Agora temos apenas os termos que realmente estão causando a indeterminação.

Daí, podemos aplicar L’hôspital:

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x cos ⁡ π x 2 = lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x ' cos ⁡ π x 2 '

Como:

ln ⁡ x ' = 1 x

E:

cos ⁡ π x 2 ' = - π 2 ⋅ s e n π x 2

Temos:

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x ' cos ⁡ π x 2 ' = lim x → 1 + ⁡ 1 x - π 2 ⋅ s e n π x 2

Daí, substituindo x pelo valor que ele está tendendo, temos:

lim x → 1 + ⁡ 1 x - π 2 ⋅ s e n π x 2 = 1 1 - π 2 ⋅ s e n π ⋅ 1 2

= - 2 π

Aeee! Conseguimos pessoal!

Espero que vocês tenham entendido tudo bem direitinho 😊

Resposta

- 2 π

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