Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Para a compra de um novo smartphone que custa R $   1610,51 você aplicou R $ 1000,00 num título de investimento. Suponha que o dinheiro renda 10 % ao ano. Qual será o montante após n anos e quanto tempo será necessário para acumular o dinheiro necessário?

Escolha uma opção:

  1. a n = 1000 1,1 n   e 5 anos
  2. a n = 1000 1,1 12 n   e 5 anos
  3. a n = 100 1,1 n   e 5 anos
  4. a n = 1000 1,1 n   e 10 anos
  5. a n = 1000 2,2 n e 5 anos

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos disse que o dinheiro rende 10 % ao ano, ou seja, a cada ano que passa, o dinheiro guardado é multiplicado pelo fator que representa a soma do que ele tinha mais a porcentagem de acréscimo do título de investimento:

100 % + 10 % = 110 % = 110 100 = 1,1

Passo 2

Sendo assim, no primeiro ano o montante vai ser

a 1 = 1000 . ( 1,1 )

No segundo ano

a 2 = 1000 1,1 . 1,1 = 1000 1,1 2

No terceiro ano

a 3 = 1000 1,1 2 . 1,1 = 1000 1,1 3

E em n anos

a n = 1000 1,1 n

Beleza?

Passo 3

E em quantos anos será que você vai conseguir comprar o smartphone?

Bom, o valor do telefone é

R $ 1610,51

Então esse é nosso a n , e queremos saber qual n vai nos dar esse montante:

a n = 1000 1,1 n = 1610,51

Aí ficamos com essa equação aqui

1000 1,1 n = 1610,51

1,1 n = 1 , 61051

A gente precisa achar aquele n que satisfaz essa igualdade. Mas no expoente fica um pouco complicado, então uma ideia é procurar uma operação que nos tire aquele expoente dali. Aí que entra nosso querido logaritmo

Lembrando que

ln ⁡ a b = b . ln ⁡ a

Que no nosso caso a = 1,1 e b = n .

Podemos aplicar a função logaritmo dos dois lados e assim tirar esse n do expoente

1,1 n = 1 , 61051

ln ⁡ 1,1 n = ln ⁡ 1 , 61051

n   . ln ⁡ ( 1,1 ) = 0,4765

n   .   0,0953 = 0,4765

n = 0,476 0,093 = 5

Ou seja, você vai precisar deixar seu dinheiro render durante 5 anos para poder comprar o smartphone!

A resposta é:

a n = 1000 1,1 n ,   5   a n o s

E a alternativa que nos diz isso é a letra (a).

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( a )

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