Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Determine

lim n → ∞ ⁡ 1 . 1 ln ⁡ 2 . 1 ln ⁡ 3 .   … . 1 ln ⁡ n n

Passo 1

Oi galera, tudo tranquilo? Essa questão parece ser cabeluda, mas vou resolver junto com você! Vem comigo!

O problema pediu para calcularmos esse limite aqui

lim n → ∞ ⁡ 1 . 1 ln ⁡ 2 . 1 ln ⁡ 3 .   … . 1 ln ⁡ n n

Estamos falando do limite de uma sequência. Uma sequência é uma função com domínio no conjunto dos N , ou seja, n só pode assumir valores inteiros e positivos.

Mas calma, calcular o limite nesses casos é tranquilo! É igual aos limites que você costumava calcular lá com x no cálculo 1. Valem as mesmas regras, as mesmas técnicas de resolução, tudinho igual.

Passo 2

Quando temos n → ∞ esse limite fica assim:

lim n → ∞ ⁡ 1 . 1 ln ⁡ 2 . 1 ln ⁡ 3 .   … . 1 ln ⁡ n n = 1 . 1 ln ⁡ 2 . 1 ln ⁡ 3 .   … . 1 ∞ 1 ∞ = 0 0

Poxa vida, caímos em uma indeterminação do tipo exponencial!

Não sabemos se o expoente vai à zero antes do que a base, mas calma! A ideia para resolver esse tipo de limite é essa:

  • Pegar a expressão do termo geral dessa sequência, é esse o comportamento que estamos procurando: A = 1 ln ⁡ n 1 n
  • Depois aplicar a exponencial do logaritmo dessa expressão. Isso porque e ln ⁡ ( A ) = A
  • Feito isso, podemos calcular lim n → ∞ ⁡ e ln ⁡ ( A ) . E aqui que vem nosso maior truque sujo! Vamos passar o limite lá para dentro do expoente do e ! Assim:

e lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ ( A )

E nosso problema fica calcular o limite daquele l n da expressão em n ! Com o resultado do limite na mão, substituímos ele de volta no expoente do e e aí é correr para o abraço!

Mas fica tranquilo que vou fazer passo a passo junto com você! Vamos lá?

Passo 3

Vamos pegar a expressão do termo geral e chamar de A :

A = 1 ln ⁡ n 1 n

Agora vem o truque sujo (parte 1): fazer a exponencial do logaritmo dessa expressão:

A = e ln ⁡ ( A ) = e ln ⁡ 1 ln ⁡ n 1 n

E agora queremos saber o limite dessa expressão quando n → ∞ :

lim n → ∞ ⁡ e ln ⁡ 1 ln ⁡ n 1 n

Aqui vem a parte 2 desse truque sujo: passar o limite para o expoente!

e lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 ln ⁡ n 1 n      

Nosso próximo passo é calcular esse limite!

Passo 4

Pegando só o expoente a gente tem

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 ln ⁡ n 1 n  

Como ainda temos a indeterminação dentro do logaritmo ( 0 0 ) , precisamos manipular mais um pouco essa expressão. Vou inverter a fração 1 / ln ⁡ n e ficar com ln ⁡ n - 1 :

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ n - 1 1 n   = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ n - 1 n  

E agora passar o - 1 / n multiplicando o ln ⁡ ( ln ⁡ ( n ) ) :

lim n → ∞ ⁡ - 1 n . ln ⁡ ln ⁡ ( n )     = - 1 . lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ ( n )   n  

Beleza?

Passo 5

Avaliando esse limite temos que tanto n quanto ln ⁡ ln ⁡ ( n )   vão à infinito quando n → ∞ . Então temos uma nova indeterminação: ∞ / ∞

Lembrando lá do cálculo 1 nós resolvemos limites assim aplicando a regra de L´Hopital! É só derivar em cima e derivar embaixo e avaliar o limite novamente. Tranquilo?

- 1 . lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ n   n   = ⏝ ∞ ∞ ,   L ' H - 1   lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ n   ' n ' = - 1 lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ n . 1 n 1 = - 1 lim n → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ n . 1 n = - 1 . 1 ∞ 1 ∞ = 0

Belezinha? Nosso limite vai a zero!

Agora precisamos voltar para nossa exponencial!

Passo 6

Lá do finalzinho do passo 3 a gente tinha o seguinte

e lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 ln ⁡ n 1 n      

E descobrimos que

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 ln ⁡ n 1 n   = 0

Aí é só substituir esse valor ali no expoente de e :

e lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 ln ⁡ n 1 n     = e 0 = 1

Oba! Chegamos a um resultado final! Nosso termo geral tende a 1 quando n → ∞

Beleza?

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

1

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