Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

6. Calcule os seguintes limites:

f) lim x → + ∞ ⁡ x 2 ln ⁡ 1 + x - 2  

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema temos apenas que calcular o limite de f x = x 2 ln ⁡ 1 + x - 2 para x → ∞ .

Parece complicado? 😬

Podemos reescrever f x como

f x = ln ⁡ 1 + x - 2 x - 2

Se simplesmente tentássemos substituir x por iriamos cair em uma indeterminaç��o 0 / 0 então quando isso acontece a primeira coisa que podemos pensar em aplicar é a regra de L ' H o p i t a l .

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador da fração de um limite para contornar o problema da indeterminação.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando o limite do problema

ln ⁡ 1 + x - 2 x - 2 = 0 0

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l ...

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x - 2 x - 2 = lim x → ∞ ⁡ d ln ⁡ 1 + x - 2 d x d x - 2 d x

Pelo teorema fundamental do cálculo e pela regra da cadeia, temos, temos

d ln ⁡ 1 + x - 2 d x = d 1 + x - 2 d x · d ln ⁡ u d u = - 2 x - 3 u

d ln ⁡ 1 + x - 2 d x = - 2 x - 3 1 + x - 2

d x - 2 d x = - 2 x - 3

Substituindo no limite...

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x - 2 x - 2 = lim x → ∞ ⁡ - 2 x - 3 1 + x - 2 - 2 x - 3 = lim x → ∞ ⁡ 1 1 + x - 2

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x - 2 x - 2 = lim x → ∞ ⁡ 1 1 + x - 2 = 1 1 + ∞ - 2

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x - 2 x - 2 = 1

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

lim x → ∞ ⁡ ln �� 1 + x - 2 x - 2 = 1

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