Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Discuta a convergência da sequência a n = n ! / n n , onde n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 … n .

Passo 1

Em geral, quando se tem fatorial na expressão geral de uma sequência, é uma boa compará-la com outras sequências. Vamos tentar, então, aplicar o Teorema do Confronto. Para isso, precisamos reescrever a expressão do a n .

n ! n n = 1 n ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 … n n ⋅ n ⋅ n … n ⏟ n - 1   termos

Já que n ! ≤ n n - 1 (pois n é o maior termo de n ! ), então:

2 ⋅ 3 ⋅ 4 … n n ⋅ n ⋅ n … n ≤ 1

Temos, assim:

n ! n n = 1 n 2 ⋅ 3 ⋅ 4 … n n ⋅ n ⋅ n … n ≤ 1 n

Certo, agora precisamos de um limite inferior. Já que n ! assim como n n devem ser positivos, podemos afirmar que:

0 ≤ n ! n n ≤ 1 n

Passo 2

O limite inferior já sabemos que é zero, agora precisamos calcular o superior.

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

Como ambos os limites são zero, sabemos que lim n → ∞ ⁡ a n = 0 .

Resposta

lim n → ∞ ⁡ a n = 0 e a sequência converge.

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