Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

Ver Teoria

Enunciado

Determine os limites a seguir:

c) lim θ → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ ( θ ) ln ⁡ ( θ )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular o valor da função f x = 1 - cos ⁡ ( θ ) ln ⁡ ( θ ) quando o valor de x se aproxima de 0 pela direita, ou seja, se aproxima por valores maiores que 0 .

Repare que a função não está definida para x = 0 , porque causa da função logaritmo. Sendo assim, temos que fugir dessa indeterminação. Para isso, vamos transformar nossa função em uma fração e usar a regra de L’Hospital, derivando numerador e denominador, depois aplicando o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim θ → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ ( θ ) ln ⁡ θ

Dessa forma não conseguimos usar a regra de L’Hospital, então vamos escrever:

lim θ → 0 + ⁡ ln ⁡ θ 1 1 - cos ⁡ ( θ )    

Agora podemos derivar numerador e denominador separadamente. Assim,

lim θ → 0 + ⁡ 1 θ - sin ⁡ ( θ ) 1 - cos ⁡ ( θ ) 2    

Simplificando:

lim θ → 0 + ⁡ - 1 - cos ⁡ θ 2 θ sin ⁡ θ    

Mas ainda temos uma indeterminação, então vamos aplicar L’Hospital novamente:

lim θ → 0 + ⁡ - 2 sin ⁡ θ ( - 1 + cos ⁡ θ ) θ sin ⁡ θ    

Usando cos ⁡ θ ∙ sin ⁡ θ = sin ⁡ ( 2 θ ) , temos:

lim θ → 0 + ⁡ sin ⁡ 2 θ - 2 sin ⁡ θ θ sin ⁡ θ

Como a indeterminação continua e a gente é brasileiro e não desiste nunca, vamos derivar mais uma vez por L’Hospital:

lim θ → 0 + ⁡ 2 cos ⁡ ( 2 θ ) - 2 cos ⁡ ( θ ) 2 cos ⁡ θ - θ sin ⁡ θ

E finalmente saímos da indeterminação, então podemos substituir o valor do limite:

= 2 cos ⁡ 2 ∙ 0 - 2 cos ⁡ ( 0 ) 2 cos ⁡ ( 0 ) - 0 ∙ sin ⁡ ( 0 )

= 2 - 2 2 - 0

= 0 2 = 0

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim θ → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ ( θ ) ln ⁡ ( θ ) = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre que se underset(n - oo)(l i m) a_n = 0 e {b_n} for limitada, entãounderset(n - oo)(l i m) (a_n b_n) = 0
Teoria e exemplos - Teorema da sequência intercalada: Prove o “teorema da sequência intercalada” para as sequências: { a n } e { b n } convergem para L , então a sequência a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ⋅ ⋅
Teoria e exemplos: Prove o Teorema 2.
A sequência {n/(n + 1)} tem um menor limitante superior igual a 1. Mostre que se M é um número menor que 1, então os termos de {n/(n + 1)} finalmente excedem M. Sendo assim, se M  M sempre que nN. Com
Prove o Teorema 3.